Πάλι παρέα σε κύκλο

#1

: Πάλι παρέα σε κύκλο.png (9.72 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

Σε τρίγωνο ABC

τα σημεία

είναι ομοκυκλικά (όπου

το έγκεντρο και

το περίκεντρο).

Ο κύκλος αυτός τέμνει τη

σε ένα σημείο

ώστε

Να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου ABC

αν γνωρίζετε ότι έχουν μήκη θετικούς ακέραιους αριθμούς.

#2

Επαναφορά.

#3

Ισχύει

$\displaystyle{\angle AIC=\angle AOC \implies 90^o+\frac{B}{2}=2B\implies \angle B=60^o,}$

οπότε από τον νόμο των συνημιτόνων είναι

$\displaystyle{b^2=a^2+c^2-ac}$ ( $\displaystyle{\color{red}1}$ )

Επίσης είναι

$\displaystyle{\angle ADC=\angle AOC=2B=120^o,}$ άρα το τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ είναι ισόπλευρο. Επομένως $\displaystyle{AD=c.}$

Αυτό σημαίνει ότι $\displaystyle{a=c+3,}$ οπότε η ( $\displaystyle{\color{red}1}$ ) γίνεται τελικά

$\displaystyle{b^2=c^2+3c+9.}$

Τώρα μπαίνουν στο παιχνίδι οι ακέραιοι. Αυτή η διοφαντική λύθηκε εδώ.

Επειδή η παραγοντοποίηση του Αχιλλέα μπορεί να ξενίσει όποιον δεν έχει αντιμετωπίσει παρόμοια θέματα, γράφω δύο γραμμές:

$\displaystyle{\boxed{b^2=c^2+3c+9}}$

Η ιδέα είναι να μετασχηματίσουμε την παράσταση σε γινόμενο παραγόντων ίσο με σταθερό αριθμό.
Μας τα χαλάει το 3 που είναι συντελεστής στο $\displaystyle{c}$ . Θέλουμε να υπάρχει διπλάσιο γινόμενο (έτσι θέλει η γνωστή ταυτότητα), αλλά και να μη χαλάσουν τα τετράγωνα. Τη δουλειά αυτή την κάνει άψογα το 4. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν τα μέλη επί 4, οπότε λαμβάνουμε

$\displaystyle{4b^2=4c^2+12c+36\implies 4b^2=(2c+3)^2+27\implies 4b^2-(2c+3)^2=27\implies }$

$\displaystyle{\implies (2b+2c+3)(2b-2c-3)=27.}$

Από τις λύσεις του Αχιλλέα κρατάμε εκείνες που είναι θετικές, δηλαδή την εξής μία: $\displaystyle{b=7, c=5,}$ οπότε $\displaystyle{a=8.}$

Πάλι παρέα σε κύκλο

Πάλι παρέα σε κύκλο

Re: Πάλι παρέα σε κύκλο

Re: Πάλι παρέα σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση