Λόγος αποστάσεων

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9883
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος αποστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 17, 2018 9:00 pm

Λόγος  αποστάσεων.png
Λόγος αποστάσεων.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Το M είναι το μέσο της πλευράς BC=a , τετραγώνου ABCD , ενώ το N είναι

σημείο της CD , ώστε : \widehat{MAN}=45^0 . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{CS}{CP} των αποστάσεων

της κορυφής C από τις ευθείες AM και AN και βρείτε το μήκος του τμήματος PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5908
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος αποστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 17, 2018 11:24 pm

Προφανώς ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,R) του τετραγώνου ABCD διέρχεται από

τα S,P . Θέτω: AB = 4m\,\,,\,\,MS = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP = u και θα είναι ,

MB = 2m\,\,,\,\,CS = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = 2u αφού \widehat \theta  = \widehat \omega ως συμπληρώματα 45^\circ της \widehat {MAC}.

Έτσι : R = 2m\sqrt 2 και \left\{ \begin{gathered} 
  M{C^2} = S{M^2} + S{C^2} \hfill \\ 
  A{C^2} = P{A^2} + P{C^2} \hfill \\ 
  P{S^2} = O{P^2} + O{S^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  4{m^2} = {k^2} + 4{k^2} \hfill \\ 
  32{m^2} = 4{u^2} + {u^2} \hfill \\ 
  P{S^2} = 8{m^2} + 8{m^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Άρα
Λόγος αποστάσεων.png
Λόγος αποστάσεων.png (37.68 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  2k = \frac{{4m}}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ 
  u = \frac{{8m}}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ 
  PS = AB \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{CS}}{{CP}} = \frac{{2k}}{u} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ 
  PS = AB \hfill \\  
\end{gathered}  \right..


nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Λόγος αποστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Μάιος 18, 2018 12:30 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 17, 2018 9:00 pm
Λόγος αποστάσεων.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς BC=a , τετραγώνου ABCD , ενώ το N είναι

σημείο της CD , ώστε : \widehat{MAN}=45^0 . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{CS}{CP} των αποστάσεων

της κορυφής C από τις ευθείες AM και AN και βρείτε το μήκος του τμήματος PS .
ΛόγοςΑποστάσεων.png
ΛόγοςΑποστάσεων.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
.

Από τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABCD όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους όπως και όλες οι μπλε.

Έτσι, από νόμο ημιτόνων \frac{CS}{CP}=\frac{\eta \mu (45^o-x)}{\eta \mu x}=\frac{\eta \mu 45^o\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu 45^o \eta \mu x}{\eta \mu x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sigma \varphi x -1 \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Ακόμη, \widehat{SAP}=45^o οπότε τόξο SCP=90^o δηλαδή PS=\lambda _{4}=BC=a.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος αποστάσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μάιος 18, 2018 2:09 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 17, 2018 9:00 pm
Λόγος αποστάσεων.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς BC=a , τετραγώνου ABCD , ενώ το N είναι

σημείο της CD , ώστε : \widehat{MAN}=45^0 . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{CS}{CP} των αποστάσεων

της κορυφής C από τις ευθείες AM και AN και βρείτε το μήκος του τμήματος PS .

Ο περίκυκλος του τετραγώνου προφανώς διέρχεται από τα \displaystyle P,S.

Είναι \displaystyle \angle DAC = \angle PAS = \angle CAB = {45^0} συνεπώς οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Επομένως \displaystyle PCSB ισοσκελές τραπέζιο \displaystyle  \Rightarrow \boxed{PS = BC = a} και \displaystyle PB//CS κι αφού \displaystyle M

μέσον της \displaystyle BC \Rightarrow CT = SB = PC = y και \displaystyle \angle CTS = \angle ASB = {45^0}

Έτσι ,από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle CTS \Rightarrow y = x\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
l.a.png
l.a.png (21.71 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης