Λόγος αποστάσεων

KARKAR · #1

: Λόγος αποστάσεων.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς BC=a

, τετραγώνου ABCD

, ενώ το

είναι

σημείο της

, ώστε : $\widehat{MAN}=45^0$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{CS}{CP}$ των αποστάσεων

της κορυφής

από τις ευθείες

και

και βρείτε το μήκος του τμήματος

.

#2

Προφανώς ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,R)

του τετραγώνου ABCD

διέρχεται από

τα S,P

. Θέτω: $AB = 4m\,\,,\,\,MS = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP = u$ και θα είναι ,

$MB = 2m\,\,,\,\,CS = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = 2u$ αφού $\widehat \theta = \widehat \omega$ ως συμπληρώματα $45^\circ$ της $\widehat {MAC}$ .

Έτσι : $R = 2m\sqrt 2$ και $\left\{ \begin{gathered} M{C^2} = S{M^2} + S{C^2} \hfill \\ A{C^2} = P{A^2} + P{C^2} \hfill \\ P{S^2} = O{P^2} + O{S^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} = {k^2} + 4{k^2} \hfill \\ 32{m^2} = 4{u^2} + {u^2} \hfill \\ P{S^2} = 8{m^2} + 8{m^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Άρα

: Λόγος αποστάσεων.png (37.68 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2k = \frac{{4m}}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ u = \frac{{8m}}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ PS = AB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{CS}}{{CP}} = \frac{{2k}}{u} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ PS = AB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

nikkru · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 17, 2018 9:00 pm
Λόγος αποστάσεων.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς , τετραγώνου , ενώ το είναι

σημείο της , ώστε : $\widehat{MAN}=45^0$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{CS}{CP}$ των αποστάσεων

της κορυφής από τις ευθείες και και βρείτε το μήκος του τμήματος .

: ΛόγοςΑποστάσεων.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

.

Από τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABCD

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους όπως και όλες οι μπλε.

Έτσι, από νόμο ημιτόνων $\frac{CS}{CP}=\frac{\eta \mu (45^o-x)}{\eta \mu x}=\frac{\eta \mu 45^o\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu 45^o \eta \mu x}{\eta \mu x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sigma \varphi x -1 \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ακόμη, $\widehat{SAP}=45^o$ οπότε τόξο SCP=90^o

δηλαδή $PS=\lambda _{4}=BC=a$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 17, 2018 9:00 pm
Λόγος αποστάσεων.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς , τετραγώνου , ενώ το είναι

σημείο της , ώστε : $\widehat{MAN}=45^0$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{CS}{CP}$ των αποστάσεων

της κορυφής από τις ευθείες και και βρείτε το μήκος του τμήματος .

Ο περίκυκλος του τετραγώνου προφανώς διέρχεται από τα $\displaystyle P,S$ .

Είναι $\displaystyle \angle DAC = \angle PAS = \angle CAB = {45^0}$ συνεπώς οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Επομένως $\displaystyle PCSB$ ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle \Rightarrow \boxed{PS = BC = a}$ και $\displaystyle PB//CS$ κι αφού $\displaystyle M$

μέσον της $\displaystyle BC \Rightarrow CT = SB = PC = y$ και $\displaystyle \angle CTS = \angle ASB = {45^0}$

Έτσι ,από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle CTS \Rightarrow y = x\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

: l.a.png (21.71 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Λόγος αποστάσεων

Λόγος αποστάσεων

Re: Λόγος αποστάσεων

Re: Λόγος αποστάσεων

Re: Λόγος αποστάσεων

Μέλη σε σύνδεση