Μέγιστο γινόμενο 10
Μέγιστο γινόμενο 10
Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του γινομένου : ... ώρες , μόνο για μαθητές .
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο γινόμενο 10
Μετά την άκαρπη αναμονή του 48ωρου, ας δούμε και μερικές λύσεις των πιο ηλικιωμένων μελών του
Το γινόμενο παρουσιάζει μέγιστο όταν και το παρουσιάζει μέγιστο.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και .
Έστω , σταθερό και , .
Τότε
Λύση με παραγώγους:
Η συνάρτηση έχει παράγωγο .
Με τον πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι το μέγιστο παρουσιάζεται όταν .
Άρα το μέγιστο του γινομένου παρουσιάζεται όταν και ισούται με .
Αλγεβρική λύση:
Χρησιμοποιώ το Λήμμα που βρίσκεται στη σελίδα 190 του βιβλίου Στοιχειώδης Άλγεβρα του Ιωάννη Χατζηδάκι, έκδοση 1923, (Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Παν. Αιγαίου).
Είναι
Επειδή , σταθερό, το γινόμενο των θετικών παραγόντων γίνεται μέγιστο όταν και συνεχίζουμε, όπως παραπάνω.
Το γινόμενο παρουσιάζει μέγιστο όταν και το παρουσιάζει μέγιστο.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και .
Έστω , σταθερό και , .
Τότε
Λύση με παραγώγους:
Η συνάρτηση έχει παράγωγο .
Με τον πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι το μέγιστο παρουσιάζεται όταν .
Άρα το μέγιστο του γινομένου παρουσιάζεται όταν και ισούται με .
Αλγεβρική λύση:
Χρησιμοποιώ το Λήμμα που βρίσκεται στη σελίδα 190 του βιβλίου Στοιχειώδης Άλγεβρα του Ιωάννη Χατζηδάκι, έκδοση 1923, (Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Παν. Αιγαίου).
Είναι
Επειδή , σταθερό, το γινόμενο των θετικών παραγόντων γίνεται μέγιστο όταν και συνεχίζουμε, όπως παραπάνω.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο γινόμενο 10
Με αφορμή την άσκηση του Θανάση, προτείνω το παρακάτω "σενάριο εργασίας" για όσους μαθητές(*) ενδιαφέρονται για "κάτι παραπάνω" από την απλή εξάσκηση σε μεθοδολογίες επίλυσης ασκήσεων.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι .
Εφαρμόζοντας τη γνωστή ανισότητα: ,
έχουμε .
Έστω , σταθερό και , .
Οπότε .
Το τριώνυμο παρουσιάζει μέγιστο για με μέγιστη τιμή .
Οπότε με το μέγιστο όταν . Τότε, όμως, έχουμε προφανώς την ακραία περίπτωση όπου το ταυτίζεται με το , οπότε έχουμε ελάχιστο, το .
Τι έχετε να σχολιάσετε;
(*) Ας περιμένουμε λίγο (μία - δύο) μέρες απαντήσεις μαθητών και κατόπιν ας συμμετέχει όποιος επιθυμεί.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι .
Εφαρμόζοντας τη γνωστή ανισότητα: ,
έχουμε .
Έστω , σταθερό και , .
Οπότε .
Το τριώνυμο παρουσιάζει μέγιστο για με μέγιστη τιμή .
Οπότε με το μέγιστο όταν . Τότε, όμως, έχουμε προφανώς την ακραία περίπτωση όπου το ταυτίζεται με το , οπότε έχουμε ελάχιστο, το .
Τι έχετε να σχολιάσετε;
(*) Ας περιμένουμε λίγο (μία - δύο) μέρες απαντήσεις μαθητών και κατόπιν ας συμμετέχει όποιος επιθυμεί.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο γινόμενο 10
Επαναφέρω το ερώτημα για την αναζήτηση του λάθους στην παραπάνω "απόδειξη". Αν και δεν υπήρχε ανταπόκριση εξακολουθώ να πιστεύω ότι πρόκειται για ένα πολύ κρίσιμο σημείο στη διδασκαλία μας, παρόλο που το βασικό πεδίο εφαρμογής του (γεωμετρία μιγαδικών) είναι πια εκτός ύλης.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Παρ Ιουν 22, 2018 5:27 pm
(*) Ας περιμένουμε λίγο (μία - δύο) μέρες απαντήσεις μαθητών και κατόπιν ας συμμετέχει όποιος επιθυμεί.
Δίνω μια ακόμα λύση με χρήση των εργαλείων της Αναλυτικής Γεωμετρίας και με μελέτη συνάρτησης με παραγώγους.
Έστω . Τότε η εξίσωση του ημικυκλίου είναι , οπότε .
Έστω με , οπότε .
Η παράσταση παρουσιάζει μέγιστο όταν παρουσιάζει μέγιστο το υπόρριζο.
Είναι
Από τον πίνακα μονοτονίας της βρίσκουμε ότι η παρουσιάζει μέγιστο για (κι εννοείται ελάχιστο για ή ).
Τότε και αφού , θα είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες