Μέγιστο γινόμενο 10

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο 11.png (6.85 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

και

είναι η προβολή του στη διάμετρο .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του γινομένου : $(SA\cdot ST)$ ...

ώρες , μόνο για μαθητές .

#2

Μετά την άκαρπη αναμονή του 48ωρου, ας δούμε και μερικές λύσεις των πιο ηλικιωμένων μελών του

: 21-06-2018 Γεωμετρία 2.jpg (20.43 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Το γινόμενο $\displaystyle SA \cdot ST$ παρουσιάζει μέγιστο όταν και το $\displaystyle S{A^2} \cdot S{T^2}$ παρουσιάζει μέγιστο.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο SAB

είναι $\displaystyle S{T^2} = TA \cdot TB$ και $\displaystyle S{A^2} = AB \cdot TA$ .

Έστω AB = a

, σταθερό και TA=x

, $\displaystyle 0 \le x \le a$ .

Τότε $\displaystyle S{A^2} \cdot S{T^2} = \left( {T{A^2} + S{T^2}} \right) \cdot S{T^2} = a{x^2}\left( {a - x} \right) = {a^2}{x^2} - a{x^3}$

Λύση με παραγώγους:

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = - {x^3} + {a^2}{x^2},\;\;x \in \left[ {0,\;a} \right]$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = - 3a{x^2} + 2{a^2}x$ .

Με τον πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι το μέγιστο παρουσιάζεται όταν $\displaystyle x = \frac{{2a}}{3}$ .

Άρα το μέγιστο του γινομένου $\displaystyle SA \cdot ST$ παρουσιάζεται όταν $\displaystyle TA = \frac{2}{3}AB$ και ισούται με $\displaystyle \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{9}$ .

Αλγεβρική λύση:
Χρησιμοποιώ το Λήμμα που βρίσκεται στη σελίδα 190 του βιβλίου Στοιχειώδης Άλγεβρα του Ιωάννη Χατζηδάκι, έκδοση 1923, (Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Παν. Αιγαίου).

: 21-06-2018 Γεωμετρία 3.jpg (68.84 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Είναι $\displaystyle S{A^2} \cdot S{T^2} = \left( {T{A^2} + S{T^2}} \right) \cdot S{T^2} = a{x^2}\left( {a - x} \right)$

Επειδή $\displaystyle x + \left( {a - x} \right) = a$ , σταθερό, το γινόμενο των θετικών παραγόντων $\displaystyle {x^2},\;\;\left( {a - x} \right)$ γίνεται μέγιστο όταν $\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{{a - x}}{1} \Leftrightarrow x = 2a - 2x \Leftrightarrow x = \frac{{2a}}{3}$ και συνεχίζουμε, όπως παραπάνω.

#3

Με αφορμή την άσκηση του Θανάση, προτείνω το παρακάτω "σενάριο εργασίας" για όσους μαθητές(*) ενδιαφέρονται για "κάτι παραπάνω" από την απλή εξάσκηση σε μεθοδολογίες επίλυσης ασκήσεων.

: 21-06-2018 Γεωμετρία 2.jpg (20.43 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο SAB

είναι $\displaystyle S{T^2} = TA \cdot TB$ .

Εφαρμόζοντας τη γνωστή ανισότητα: $\displaystyle {a^2} + {b^2} \ge 2ab$ ,

έχουμε $\displaystyle S{A^2} + S{T^2} \ge 2SA \cdot ST \Leftrightarrow \frac{{2S{T^2} + T{A^2}}}{2} \ge SA \cdot ST \Leftrightarrow \frac{{2TA \cdot TB + T{A^2}}}{2} \ge SA \cdot ST$ .

Έστω AB = a

, σταθερό και TA=x

, $\displaystyle 0 \le x \le a$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{2TA \cdot TB + T{A^2}}}{2} = \frac{{2x\left( {a - x} \right) + {x^2}}}{2} = \frac{{ - {x^2} + 2ax}}{2}$ .
Το τριώνυμο $\displaystyle - {x^2} + 2ax$ παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = - \frac{\beta }{{2\alpha }} = a$ με μέγιστη τιμή $\displaystyle {a^2}$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{{a^2}}}{2} \ge SA \cdot ST$ με το μέγιστο όταν $\displaystyle TA = a$ . Τότε, όμως, έχουμε προφανώς την ακραία περίπτωση όπου το

ταυτίζεται με το

, οπότε έχουμε ελάχιστο, το

.

Τι έχετε να σχολιάσετε;

(*) Ας περιμένουμε λίγο (μία - δύο) μέρες απαντήσεις μαθητών και κατόπιν ας συμμετέχει όποιος επιθυμεί.

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 5:27 pm

(*) Ας περιμένουμε λίγο (μία - δύο) μέρες απαντήσεις μαθητών και κατόπιν ας συμμετέχει όποιος επιθυμεί.

Επαναφέρω το ερώτημα για την αναζήτηση του λάθους στην παραπάνω "απόδειξη". Αν και δεν υπήρχε ανταπόκριση εξακολουθώ να πιστεύω ότι πρόκειται για ένα πολύ κρίσιμο σημείο στη διδασκαλία μας, παρόλο που το βασικό πεδίο εφαρμογής του (γεωμετρία μιγαδικών) είναι πια εκτός ύλης.

Δίνω μια ακόμα λύση με χρήση των εργαλείων της Αναλυτικής Γεωμετρίας και με μελέτη συνάρτησης με παραγώγους.

: 21-06-2018 Γεωμετρία.jpg (19.89 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Έστω

. Τότε η εξίσωση του ημικυκλίου είναι $\displaystyle {x^2} + {y^2} = 1,\;\;y \ge 0$ , οπότε A(-1, 0)

.

Έστω $\displaystyle S\left( {a,b} \right),\;\; - 1 \le a \le 1,\;\;0 \le b \le 1$ με $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 1$ , οπότε $\displaystyle T\left( {a,0} \right)$ .

$\displaystyle SA \cdot ST = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} \cdot b = \sqrt {2a + 2} \sqrt {1 - {a^2}} = \sqrt {2\left( { - {a^3} - {a^2} + a + 1} \right)}$

Η παράσταση παρουσιάζει μέγιστο όταν παρουσιάζει μέγιστο το υπόρριζο.

Είναι $\displaystyle f\left( x \right) = - {x^3} - {x^2} + x + 1,\;\;x \in \left[ { - 1,\;1} \right]$
$\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\;\; \vee \;\;x = \frac{1}{3}$

Από τον πίνακα μονοτονίας της

βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ (κι εννοείται ελάχιστο για x=-1

ή

).

Τότε $\displaystyle {\left( {SA \cdot ST} \right)_{\max }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}$ και αφού AB = 2

, θα είναι $\displaystyle {\left( {SA \cdot ST} \right)_{\max }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}A{B^2}$

Μέγιστο γινόμενο 10

Μέγιστο γινόμενο 10

Re: Μέγιστο γινόμενο 10

Re: Μέγιστο γινόμενο 10

Re: Μέγιστο γινόμενο 10

Μέλη σε σύνδεση