Σελίδα 1 από 1

Η ομορφιά της κατασκευής

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
από Doloros
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 11, 2018 1:28 am
από S.E.Louridas
Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Μία γρήγορη άποψη με βάση τη γωνία \angle A και τη διχοτόμο της AD, στο σχήμα που ακολουθεί.



Παρατηρούμε ότι \displsystyle{AB + AC = \frac{{2{k^2}}}{b},\;\,ct.} Άρα από το θεώρημα Maclaurin (BF=AC, AM=MF) ο περιγεγραμμένος

κύκλος στο τρίγωνο ABC περνά από σταθερό σημείο T της διχοτόμου AD της γωνίας \angle A (T είναι τομή της μεσοκάθετης του AF με την διχοτόμο AD της γωνίας \angle A).

Με κέντρο το T και ακτίνα r = \sqrt {TL \cdot TZ}  = \sqrt {TD \cdot TA} ,\;\,ct, κατασκευάζουμε κύκλο c και προσδιορίζουμε τα B, C, ως τομές του κύκλου c με τις πλευρές της γωνίας \angle A.


Θα επανέλθουμε για λεπτομέρειες.

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 11, 2018 11:22 am
από george visvikis
Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Η ομορφιά της κατασκευής.png
Η ομορφιά της κατασκευής.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε και είναι AD=d, BD=x, DC=y και το ύψος CH=h.

\displaystyle E = {k^2} \Leftrightarrow 2{k^2} = ch \Leftrightarrow h = \frac{{2{k^2}}}{c} \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{{2{k^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow bc = 2{k^2}\frac{b}{h} Επειδή όμως η γωνία \widehat A είναι σταθερή,

ο λόγος \dfrac{b}{h} θα είναι σταθερός, άρα και το γινόμενο bc θα είναι σταθερό, έστω \boxed{bc=n^2}

\displaystyle {d^2} = bc - xy \Leftrightarrow xy = bc - {d^2} = {n^2} - {d^2} \Leftrightarrow \boxed{xy=ct=m^2}

Κατασκευή: Κατασκευάζω γωνία X\widehat AY=\widehat A, φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d.
Η ομορφιά της κατασκευής.β.png
Η ομορφιά της κατασκευής.β.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Από το D φέρνω DP\bot AX και στην προέκταση της PD παίρνω σημείο Q ώστε \displaystyle PD \cdot DQ = {m^2}. Ο κύκλος διαμέτρου

DQ τέμνει την AY στο C και η CD την AX στο B και ολοκληρώνεται η κατασκευή. Το πρόβλημα έχει γενικά δύο λύσεις.

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 11, 2018 1:33 pm
από rek2
Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Ας το δούμε κι αλλιώς:

Από τους τύπους

E=1/2sinA bc,  E=1/2 sin(A/2) d (b+c)

τα b, c κατασκευάζονται.

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 11, 2018 7:56 pm
από george visvikis
Άλλη μία.
Η ομορφιά της κατασκευής.γ.png
Η ομορφιά της κατασκευής.γ.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
Κατασκευάζω γωνία X\widehat AY=\widehat A, φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d. Φέρνω DE||AY, DH\bot AX.

Τα τμήματα AE, DH είναι σταθερά και έστω AE=l, DH=h. Σκοπός μας είναι να προσδιορίζουμε ένα από τα σημεία

B, C. Θέτω λοιπόν EB=x. Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, EDB έχουμε:

\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EDB)}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{2{k^2}}}{{xh}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \boxed{hx^2-2(k^2-lh)x+hl^2=0} απ' όπου βρίσκουμε το x κλπ.

Για να έχουμε λύση πρέπει k^2\ge 2lh.