Η ομορφιά της κατασκευής

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Η ομορφιά της κατασκευής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5263
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Αύγ 11, 2018 1:28 am

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Μία γρήγορη άποψη με βάση τη γωνία \angle A και τη διχοτόμο της AD, στο σχήμα που ακολουθεί.



Παρατηρούμε ότι \displsystyle{AB + AC = \frac{{2{k^2}}}{b},\;\,ct.} Άρα από το θεώρημα Maclaurin (BF=AC, AM=MF) ο περιγεγραμμένος

κύκλος στο τρίγωνο ABC περνά από σταθερό σημείο T της διχοτόμου AD της γωνίας \angle A (T είναι τομή της μεσοκάθετης του AF με την διχοτόμο AD της γωνίας \angle A).

Με κέντρο το T και ακτίνα r = \sqrt {TL \cdot TZ}  = \sqrt {TD \cdot TA} ,\;\,ct, κατασκευάζουμε κύκλο c και προσδιορίζουμε τα B, C, ως τομές του κύκλου c με τις πλευρές της γωνίας \angle A.


Θα επανέλθουμε για λεπτομέρειες.
Συνημμένα
ασχρ.png
ασχρ.png (75.38 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7306
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 11, 2018 11:22 am

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Η ομορφιά της κατασκευής.png
Η ομορφιά της κατασκευής.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε και είναι AD=d, BD=x, DC=y και το ύψος CH=h.

\displaystyle E = {k^2} \Leftrightarrow 2{k^2} = ch \Leftrightarrow h = \frac{{2{k^2}}}{c} \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{{2{k^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow bc = 2{k^2}\frac{b}{h} Επειδή όμως η γωνία \widehat A είναι σταθερή,

ο λόγος \dfrac{b}{h} θα είναι σταθερός, άρα και το γινόμενο bc θα είναι σταθερό, έστω \boxed{bc=n^2}

\displaystyle {d^2} = bc - xy \Leftrightarrow xy = bc - {d^2} = {n^2} - {d^2} \Leftrightarrow \boxed{xy=ct=m^2}

Κατασκευή: Κατασκευάζω γωνία X\widehat AY=\widehat A, φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d.
Η ομορφιά της κατασκευής.β.png
Η ομορφιά της κατασκευής.β.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Από το D φέρνω DP\bot AX και στην προέκταση της PD παίρνω σημείο Q ώστε \displaystyle PD \cdot DQ = {m^2}. Ο κύκλος διαμέτρου

DQ τέμνει την AY στο C και η CD την AX στο B και ολοκληρώνεται η κατασκευή. Το πρόβλημα έχει γενικά δύο λύσεις.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 11, 2018 1:33 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του E = {k^2} , τη γωνία A και το μήκος της διχοτόμου του AD = d.
Ας το δούμε κι αλλιώς:

Από τους τύπους

E=1/2sinA bc,  E=1/2 sin(A/2) d (b+c)

τα b, c κατασκευάζονται.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7306
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 11, 2018 7:56 pm

Άλλη μία.
Η ομορφιά της κατασκευής.γ.png
Η ομορφιά της κατασκευής.γ.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Κατασκευάζω γωνία X\widehat AY=\widehat A, φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d. Φέρνω DE||AY, DH\bot AX.

Τα τμήματα AE, DH είναι σταθερά και έστω AE=l, DH=h. Σκοπός μας είναι να προσδιορίζουμε ένα από τα σημεία

B, C. Θέτω λοιπόν EB=x. Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, EDB έχουμε:

\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EDB)}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{2{k^2}}}{{xh}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \boxed{hx^2-2(k^2-lh)x+hl^2=0} απ' όπου βρίσκουμε το x κλπ.

Για να έχουμε λύση πρέπει k^2\ge 2lh.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης