Κριτήριο ισοσκελούς 2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Κριτήριο ισοσκελούς 2
και τα βαρύκεντρα των τριγώνων είναι ομοκυκλικά. Να δείξετε ότι
Σημείωση: Το σχήμα δεν είναι ακριβές.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Καλησπέρα Γιώργο.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Αύγ 15, 2018 7:06 pmείναι ένα σημείο της πλευράς τριγώνου ώστε Τα σημεία
και τα βαρύκεντρα των τριγώνων είναι ομοκυκλικά. Να δείξετε ότι
Σημείωση: Το σχήμα δεν είναι ακριβές.
Προφανώς, οι τέμνουν (ως διάμεσοι) την στο μέσο της. Έστω λοιπόν .
Τότε, από δύναμη σημείου . Όμως, ισχύει . Αντικαθιστώντας, προκύπτει .
Από Θ. Διαμέσων, , ή ισοδύναμα , όμως, από την Τριγωνική Ανισότητα,, άρα αναγκαστικά , το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Αύγ 15, 2018 11:10 pmΚαλησπέρα Γιώργο.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Αύγ 15, 2018 7:06 pmΚριτήριο ισοσκελούς.2.png
είναι ένα σημείο της πλευράς τριγώνου ώστε Τα σημεία
και τα βαρύκεντρα των τριγώνων είναι ομοκυκλικά. Να δείξετε ότι
Σημείωση: Το σχήμα δεν είναι ακριβές.
Προφανώς, οι τέμνουν (ως διάμεσοι) την στο μέσο της. Έστω λοιπόν .
Τότε, από δύναμη σημείου . Όμως, ισχύει . Αντικαθιστώντας, προκύπτει .
Από Θ. Διαμέσων, , ή ισοδύναμα , όμως, από την Τριγωνική Ανισότητα,, άρα αναγκαστικά , το ζητούμενο.
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Καλησπέρα. Σκέφτηκα μια διαφορετική προσέγγιση και θα ήθελα να την εκθέσω.
Εστω το μέσο της , όπου δηλ. τέμνονται και οι και . Εστω επίσης τα μέσα των αντίστοιχα.
Εχουμε ότι και . Αρα . Αρα ισοσκελές τραπέζιο (επειδή εγγράφεται) και επομένως και κατ' επέκταση . Προφανώς παραλληλόγραμμα. Δίδεται ότι:. Διαρώντας με το παίρνουμε την ισοδύναμη: .
Ετσι για τα έχουμε: μια πλευρά ίση , μια γωνία ίση και το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών ίσο.
Η απόδειξη επομένως ανάγεται στην δυνατότητα κατασκευής (μονοσήμαντα) τριγώνου, έστω όπου γνωρίζουμε τα εξής δεδομένα: Την πλευρά , την γωνία και το .
Ο συγκεκριμένος ισχυρισμός (δυνατότητα μονοσήμαντης κατασκευής τριγώνου) ισχύει, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Η απόδειξη της κατασκευής είναι απλή και όμορφη.
Θα ήθελα την γνώμη σας αν θα πρέπει να παρουσιαστεί εδώ, ή αν πρέπει να αποτελέσει αντικείμενο ανεξάρτητης άσκησης, ή αν έχει παρουσιαστεί στο παρελθόν στο forum, οπότε να γίνει αναφορά.
Εστω το μέσο της , όπου δηλ. τέμνονται και οι και . Εστω επίσης τα μέσα των αντίστοιχα.
Εχουμε ότι και . Αρα . Αρα ισοσκελές τραπέζιο (επειδή εγγράφεται) και επομένως και κατ' επέκταση . Προφανώς παραλληλόγραμμα. Δίδεται ότι:. Διαρώντας με το παίρνουμε την ισοδύναμη: .
Ετσι για τα έχουμε: μια πλευρά ίση , μια γωνία ίση και το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών ίσο.
Η απόδειξη επομένως ανάγεται στην δυνατότητα κατασκευής (μονοσήμαντα) τριγώνου, έστω όπου γνωρίζουμε τα εξής δεδομένα: Την πλευρά , την γωνία και το .
Ο συγκεκριμένος ισχυρισμός (δυνατότητα μονοσήμαντης κατασκευής τριγώνου) ισχύει, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Η απόδειξη της κατασκευής είναι απλή και όμορφη.
Θα ήθελα την γνώμη σας αν θα πρέπει να παρουσιαστεί εδώ, ή αν πρέπει να αποτελέσει αντικείμενο ανεξάρτητης άσκησης, ή αν έχει παρουσιαστεί στο παρελθόν στο forum, οπότε να γίνει αναφορά.
- Συνημμένα
-
- kritirio_isoskelous_2.png (44.42 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Ωραία σκέψη Μπορείς να κάνεις την απόδειξη ισότητας (ή τη κατασκευή) εδώ αν θέλεις.Altrian έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 16, 2018 7:48 pmΚαλησπέρα. Σκέφτηκα μια διαφορετική προσέγγιση και θα ήθελα να την εκθέσω.
Εστω το μέσο της , όπου δηλ. τέμνονται και οι και . Εστω επίσης τα μέσα των αντίστοιχα.
Εχουμε ότι και . Αρα . Αρα ισοσκελές τραπέζιο (επειδή εγγράφεται) και επομένως και κατ' επέκταση . Προφανώς παραλληλόγραμμα. Δίδεται ότι:. Διαρώντας με το παίρνουμε την ισοδύναμη: .
Ετσι για τα έχουμε: μια πλευρά ίση , μια γωνία ίση και το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών ίσο.
Η απόδειξη επομένως ανάγεται στην δυνατότητα κατασκευής (μονοσήμαντα) τριγώνου, έστω όπου γνωρίζουμε τα εξής δεδομένα: Την πλευρά , την γωνία και το .
Ο συγκεκριμένος ισχυρισμός (δυνατότητα μονοσήμαντης κατασκευής τριγώνου) ισχύει, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Η απόδειξη της κατασκευής είναι απλή και όμορφη.
Θα ήθελα την γνώμη σας αν θα πρέπει να παρουσιαστεί εδώ, ή αν πρέπει να αποτελέσει αντικείμενο ανεξάρτητης άσκησης, ή αν έχει παρουσιαστεί στο παρελθόν στο forum, οπότε να γίνει αναφορά.
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Η κατασκευή:
Γνωρίζουμε το μήκος της μιας πλευράς έστω , καθώς και το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών. Αρα γνωρίζουμε την περίμετρο του υπό κατασκευή τριγώνου και έστω η ημιπερίμετρος.
Από το σημείο δημιουργώ την δεδομένη γωνία και ορίζω τμήματα . Από τα φέρνω τις καθέτους στις αντίστοιχα που τέμνονται στο . Ορίζω τον κύκλο . Πάνω στην παίρνω το γνωστό τμήμα ίσο δηλ. με την γνωστή πλευρά. Από το φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου που εφάπτεται έστω στο και τέμνει την έστω στο .
Εχουμε:
και η κατασκευή του ολοκληρώθηκε.
Γνωρίζουμε το μήκος της μιας πλευράς έστω , καθώς και το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών. Αρα γνωρίζουμε την περίμετρο του υπό κατασκευή τριγώνου και έστω η ημιπερίμετρος.
Από το σημείο δημιουργώ την δεδομένη γωνία και ορίζω τμήματα . Από τα φέρνω τις καθέτους στις αντίστοιχα που τέμνονται στο . Ορίζω τον κύκλο . Πάνω στην παίρνω το γνωστό τμήμα ίσο δηλ. με την γνωστή πλευρά. Από το φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου που εφάπτεται έστω στο και τέμνει την έστω στο .
Εχουμε:
και η κατασκευή του ολοκληρώθηκε.
- Συνημμένα
-
- kataskevi_trigonou.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 2
Άλλη μία κατασκευή. Έστω
Κατασκευάζω το τρίγωνο με Η μεσοκάθετη του τέμνει την στην τρίτη κορυφή του ζητούμενου τριγώνου.Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες