Διαιρετότητα!

Συντονιστές: silouan, rek2

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Διαιρετότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 08, 2018 12:52 am

Έστω m και n θετικοί ακέραιοι και p πρώτος έτσι, ώστε m < n < p.
Επιπλέον ισχύει ότι p | m^2 + 1 και p | n^2 + 1. Να δείξετε ότι p | mn - 1.


Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
διαιρετότητα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαιρετότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Σεπ 08, 2018 12:02 pm

Παρατηρούμε πως p|(m^2+1)(n^2+1)\Leftrightarrow p|m^2n^2+m^2+n^2+1\Leftrightarrow p|m^2n^2-1\Leftrightarrow p|(mn+1)(mn-1).

Έστω πως ο p δεν διαιρεί το mn-1. Τότε θα διαιρεί το mn+1, δηλαδή το 2mn+2.

Επομένως p|m^2+n^2+1+1-2mn-2\Leftrightarrow p|(n-m)^2\Leftrightarrow p|n-m.

Αφού n-m>0 έχουμε πως n-m\geq p άτοπο, αφού p>n.


Houston, we have a problem!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες