Σε 15-γωνο

#1

Θεωρούμε κυρτό 15-γωνο με περίμετρο 21. Να δείξετε ότι υπάρχουν τρεις (διαφορετικές ανά δύο) κορυφές του 15-γώνου που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδό μικρότερο από 1.

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε: Σάβ Σεπ 08, 2018 1:07 am Θεωρούμε κυρτό 15-γωνο με περίμετρο 21. Να δείξετε ότι υπάρχουν τρεις (διαφορετικές ανά δύο) κορυφές του 15-γώνου που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδό μικρότερο από 1.

Πρώτα, θα δείξουμε το εξής:

Ιδιότητα

Θεωρούμε ένα τυχαίο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ . Τότε, αν

το εμβαδόν του, ισχύει ότι $E \leqslant \dfrac{(b+c)^2}{8}$ .

: socrates-2.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Απόδειξη

Είναι προφανώς $E=\dfrac{bc \sin A}{2} \leqslant \dfrac{bc}{2} \leqslant \dfrac{(b+c)^2}{8}$ , ό.έ.δ. $\blacksquare$

Ας, συνεχίσουμε την απόδειξη.

Έστω $a_i, i \in \{1,2, \ldots, 15 \}$ οι πλευρές του πολυγώνου.

: socrates-1.png (20.81 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Τότε, ισχύει $a_1+a_2+ \ldots+a_{15}=21 \Rightarrow (a_1+a_2)+(a_2+a_3)+ \ldots +(a_{15}+a_1)=42$ .

Τώρα, θα δείξουμε ότι από τα

αθροίσματα $a_j+a_{j+1}, \, j \in \{1,2, \ldots, 15 \}, a_{16}=a_1$ , ένα τουλάχιστον είναι $<2\sqrt{2}$ .

Έστω, προς άτοπο, ότι $a_j+a_{j+1} \geqslant 2\sqrt{2},$ για κάθε $j \in \{1,2, \ldots, 15 \}, a_{16}=a_1$ . Τότε, $42=(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+ \ldots +(a_{15}+a_1) \geqslant 30\sqrt{2}>42 \Rightarrow 42>42$ , άτοπο.

Άρα, υπάρχει ένα ζεύγος $a_j+a_{j+1}$ που να είναι $<2\sqrt{2}$ .

Έστω ότι οι δύο πλευρές του πολυγώνου που το άθροισμα τους είναι $<2\sqrt{2}$ είναι οι $a_k,a_{k+1}$ .

Από την Ιδιότητα που αποδείξαμε στην αρχή, το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις πλευρές με μήκη $a_k,a_{k+1}$ και μία τρίτη πλευρά, έχει εμβαδόν $E_k \leqslant \dfrac{(a_k+a_{k+1})^2}{8}<1$ , άρα το εμβαδόν αυτού του τριγώνου είναι

.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Σε 15-γωνο

Σε 15-γωνο

Re: Σε 15-γωνο

Μέλη σε σύνδεση