Επαφές στο εσωτερικό

KARKAR · #1

: Επαφές στο εσωτερικό.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (O,R ) , ( R>2r )

.

Χορδή

του μεγάλου κύκλου , εφάπτεται του μικρού στο σημείο

.

α) Υπολογίστε το γινόμενο $PS\cdot ST$ , όταν η

είναι διάμετρος .

β) Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου $PS\cdot ST$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 7:40 pm
Επαφές στο εσωτερικό.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου . Χορδή του μεγάλου κύκλου , εφάπτεται του μικρού στο σημείο .
α) Υπολογίστε το γινόμενο $PS\cdot ST$ , όταν η είναι διάμετρος .
β) Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου $PS\cdot ST$ .

α) Με διάμετρο του $\left( O \right)$ και $Q\equiv SK\cap \left( K \right),Q\ne S$ από το ορθογώνιο στο (λόγω διαμέτρου) τρίγωνο $\vartriangle PQT$ με το ύψος
προς την υποτείνουσα (λόγω επαφής της με τον $\left( K \right)$ στο ) θα είναι

$PS \cdot ST = S{Q^2}\mathop = \limits^{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle OSQ} O{Q^2} - O{S^2}\mathop = \limits^{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle KSO}$ $O{Q^2} - \left( {O{K^2} - K{S^2}} \right)\mathop = \limits^{OK = OL - KL\left( {L \equiv \left( K \right) \cap \left( O \right)} \right)}$

$O{Q^2} - \left( {{{\left( {OL - KL} \right)}^2} - K{S^2}} \right) =$ ${R^2} - \left( {{{\left( {R - r} \right)}^2} - {r^2}} \right) = 2Rr$ .

: Επαφές στο εσωτερικό.png (35.29 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

β) Για τυχαίο χορδή του $\left( O \right)$ εφαπτόμενη του $\left( K \right)$ στο ισχύει:
$PS\cdot ST={{R}^{2}}-O{{S}^{2}}$ και συνεπώς η μεγιστοποίηση του $PS\cdot ST$ θα προκύψει από την ελαχιστοποίηση του
Για τα σημεία ισχύει : $OS\ge \left| OK-SK \right|$ με την ισότητα (άρα την ελαχιστοποίηση του )
όταν είναι συνευθειακά με μεταξύ των , δηλαδή όταν το $S\equiv N\equiv OL\cap \left( K \right),N\ne L$ οπότε τότε

$\min OS = ON = OL - NL = R - 2r$ και συνεπώς $\max \left( {PS \cdot ST} \right) = {R^2} - {\left( {R - 2r} \right)^2}$ $= 4Rr - 4{r^2} = 4r\left( {R - r} \right)$

Στάθης

Επαφές στο εσωτερικό

Επαφές στο εσωτερικό

Re: Επαφές στο εσωτερικό

Μέλη σε σύνδεση