Διπλάσια γωνία 40

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσια γωνία 40

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 18, 2018 1:32 pm

Διπλάσια  γωνία.png
Διπλάσια γωνία.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , δείξτε ότι \omega=2\theta . Λύσεις

με χρήση τριγωνομετρίας δεκτές , αν και όχι ιδιαίτερα επιθυμητές :mrgreen:



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διπλάσια γωνία 40

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Οκτ 18, 2018 2:58 pm

Καλό απόγευμα.
Διπλάσια γωνία.PNG
Διπλάσια γωνία.PNG (7.72 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές
Το E είναι το συμμετρικό του S ως προς το A. Τότε \widehat{ECS}=2\theta

Με Π.Θ είναι AC^{2}=135 και CE=CS=12. Ισχύει \dfrac{ES}{SB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{CE}{CB}

άρα από το αντίστροφο του Θ. διχοτόμου η CS διχοτόμος της \widehat{ECB} δηλ. \omega =2\theta
Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7186
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσια γωνία 40

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 18, 2018 4:30 pm

Καλησπέρα!

Μία ανεπιθύμητη.
Διπλάσια γωνία 40.png
Διπλάσια γωνία 40.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές
Θεωρώ σημείο N της CB ώστε CN=12 και έστω M το μέσο της SN. Το τρίγωνο ASN είναι ισοσκελές, άρα \displaystyle S\widehat CM = \frac{\omega }{2}.

Με νόμο συνημιτόνων στο SNB βρίσκω \displaystyle SN = 6 \Leftrightarrow SM = 3, οπότε \boxed{\theta=\frac{\omega}{2}}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Διπλάσια γωνία 40

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Οκτ 18, 2018 5:26 pm

Καλησπέρα σε όλους.
Αφού μας πρόλαβε ο Γιώργος Μήτσιος (γειά σου Γιώργο) μια ακόμα επιθυμητή που βασίζεται στο σχήμα του Γιώργου Βισβίκη.
\triangle CSB\approx \triangle NBS (δύο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ίση (κοινή)) με λόγο ομοιότητας 2
Αρα SN=12/2=6\Rightarrow SM=3\Rightarrow \triangle CAS=\triangle CSM.

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διπλάσια γωνία 40

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 18, 2018 6:03 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 18, 2018 1:32 pm
Διπλάσια γωνία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , δείξτε ότι \omega=2\theta . Λύσεις

με χρήση τριγωνομετρίας δεκτές , αν και όχι ιδιαίτερα επιθυμητές :mrgreen:

Καλησπέρα

Aν είναι η CD διχοτόμος της γωνίας \hat{SCB}
Εστω οτι SKL\perp CD θα αποδείξω ότι AS=SK\Leftrightarrow \hat{\theta }=\hat{SCK}=\dfrac{\omega }{2}
Απο το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ASC,AS=12, και CL=12,LB=4
Το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο SCB,SD=\dfrac{24}{7},DB=\dfrac{32}{7}
και Θ.Stweart στο τρίγωνο SLB,\dfrac{32}{7}.4x^{2}+\dfrac{24}{7}.16=8(\dfrac{24^{2}}{7^{2}}+\dfrac{24.32}{7.7})\Leftrightarrow x=3,AS=SK,\hat{\theta }=\dfrac{\omega }{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Διπλάσια γωνία 40.png
Διπλάσια γωνία 40.png (50.59 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7186
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσια γωνία 40

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 18, 2018 6:11 pm

Και μία ακόμα επιθυμητή.
Διπλάσια γωνία 40.β.png
Διπλάσια γωνία 40.β.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Φέρνω \displaystyle ST \bot AB και είναι: \displaystyle \frac{{BT}}{{16}} = \frac{8}{{11}} = \frac{{ST}}{{\sqrt {135} }} \Rightarrow ST = \frac{{8\sqrt {135} }}{{11}},BT = \frac{{128}}{{11}} \Leftrightarrow CT = \frac{{48}}{{11}}

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στις πλευρές του τριγώνου CTS παρατηρώ ότι: \displaystyle S{T^2} = C{T^2} + CT \cdot SC \Leftrightarrow \boxed{\omega=2\varphi}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Διπλάσια γωνία 40

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 18, 2018 6:45 pm

Αρκεί να αποδείξω ότι οι δοθέντες αριθμοί επαληθεύουν την κατασκευή της νεύσης.
Φέρω κάθετη στην AB στο Β και προεκτείνω την την CS έως να τμήση την κάθετη στο Z.
Υπολογίζω διαδοχικά
\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& CA=\sqrt{16^2-11^2}=\sqrt{135} \\ 
& SZ = \sqrt{\frac{64}{9}135+64} =32 
\end{aligned} 
}

Δηλαδή SZ = 2 \cdot CB που σημαίνει 2 \cdot \angle ACS =  \angle SCB.
Συνημμένα
neysis.png
neysis.png (206.92 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διπλάσια γωνία 40

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Οκτ 19, 2018 2:14 am

Χαιρετώ όλους! Θα έλεγα ότι ενδιαφέρον έχει να προβάλουμε και την -κατά τον θεματοθέτη- .. :) ..πλέον ανεπιθύμητη.

Εικάζω ότι αυτή που ακολουθεί , την έχει βεβαίως κατά νου ο αγαπητός Θανάσης αλλά δεν θα ήθελε να την ..αντικρύσει στις πρώτες λύσεις !

Βρήκαμε CS=12 άρα \eta \mu \theta =3/12=1/4 οπότε \eta \mu 3\theta =3\eta \mu \theta -4\eta \mu ^{3}\theta =..=11/16

ενώ και \eta \mu \left ( \theta +\omega  \right )=AB/BC=11/16.

Προκύπτει \eta \mu \left ( \theta +\omega  \right )=\eta \mu 3 \theta για οξείες γωνίες , συνεπώς \theta +\omega =3\theta \Leftrightarrow \omega =2\theta .
Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3128
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διπλάσια γωνία 40

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Οκτ 19, 2018 7:03 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 18, 2018 1:32 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , δείξτε ότι \omega=2\theta . Λύσεις

με χρήση τριγωνομετρίας δεκτές , αν και όχι ιδιαίτερα επιθυμητές :mrgreen:
Καλημέρα. Παραλλαγή της 1ης λύσης του φίλου Γιώργου Μήτσιου με πιο ‘δύσκολα’ νούμερα.
shape.png
shape.png (15.43 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Φέρνω τη διχοτόμο CD της \angle SCB και παρατηρώ πως η CS είναι διχοτόμος της \angle ACD


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσια γωνία 40

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 19, 2018 12:49 pm

Γράφω, προς το μέρος του A, το ημικύκλιο κέντρου O και διαμέτρου BC = 16 .

Φέρνω από το O την ακτίνα OM//SC. Ας είναι N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T τα σημεία τομής της SC με το ημικύκλιο και την ευθεία BM .

Είναι απλό να δούμε ότι:
Διπλάσια γωνία 40.png
Διπλάσια γωνία 40.png (46.24 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

1. SC = 12\,\,\,,NS = 2\,\,(2 \cdot 12 = 3 \cdot 8)\,,\,\,\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\phi _3}} και

2. NS = 4\,\,,\,\,BO = BS = NT = 8 και έτσι MT = 4

Τα ορθογώνια τρίγωνα ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MTC έχουν τις οξείες γωνίες στα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T ισες και τις πλευρές αυτών ανάλογες άρα είναι όμοια συνεπώς \boxed{\widehat \theta  = \widehat {{\phi _1}}} που εξασφαλίζει το ζητούμενο .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διπλάσια γωνία 40

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 19, 2018 9:11 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 18, 2018 1:32 pm
Διπλάσια γωνία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , δείξτε ότι \omega=2\theta . Λύσεις

με χρήση τριγωνομετρίας δεκτές , αν και όχι ιδιαίτερα επιθυμητές :mrgreen:

Είναι,\displaystyle A{C^2} = 135 οπότε \displaystyle S{C^2} = 144 κι έστω ότι η μεσοκάθετος της \displaystyle CS τέμνει την \displaystyle BC στο \displaystyle D και την \displaystyle BA στο \displaystyle K

Τότε, \displaystyle SM \cdot SC = SA \cdot SK \Rightarrow \frac{{S{C^2}}}{2} = SA \cdot SK \Rightarrow 72 = 3SK \Rightarrow \boxed{SK = 24}

Για τον κύκλο\displaystyle \left( {C,S,K} \right) ισχύει \displaystyle B{C^2} = BS \cdot BK αφού \displaystyle {16^2} = 8 \cdot 32

Άρα\displaystyle BC εφαπτόμενη του \displaystyle \left( {C,S,K} \right) ,επομένως \displaystyle \boxed{\omega  = \angle CKS = 2\theta }
διπλάσια γωνία.png
διπλάσια γωνία.png (62.69 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3128
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διπλάσια γωνία 40

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Οκτ 20, 2018 8:15 am

Έστω BM \bot CS και MD = MS
shape2.png
shape2.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Από  \triangleleft CSA\mathop  \sim \limits^{CS = 12}  \triangleleft BSM \Rightarrow MS = 2 και από  \triangleleft CDB \sim  \triangleleft BDS \Rightarrow \omega  = 2\theta


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διπλάσια γωνία 40

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 21, 2018 2:53 pm

Χαιρετώ και πάλι!
21-10 Διπλάσια γωνία.PNG
21-10 Διπλάσια γωνία.PNG (6.18 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Στο τρίγωνο BSC για τις πλευρές ισχύει 16^{2}=16\cdot 12 +8^{2} άρα με την πρόταση a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2

(αποδείξεις στο θέμα Πέντε παρά ..κάτι )παίρνουμε \widehat{BSC}=90^{0}+\omega /2 αλλά έχουμε και \widehat{BSC}=90^{0}+\theta οπότε \theta =\omega /2..

Ας μου επιτραπεί να χαρίσω αυτή τη λύση στον αγαπητό Γιώργο Ρίζο , εφόσον τέρπεται με λύσεις χωρίς βοηθητικές
αλλά και διότι (με το δίκιο του να ) ..εγείρεται άμα η (προσφιλής μας) Τριγωνομετρία τίθεται υπό.. :) .."περιορισμένη ευαρέσκεια''
Φιλικά (πάντοτε και προς όλους) , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διπλάσια γωνία 40

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 21, 2018 7:25 pm

Στον φίλο Γιώργο Μήτσιο ως αντίδωρο, για την αφιέρωση και για τις όμορφες γεωμετρικές εμπνεύσεις που μοιράζεται μαζί μας.

Δίχως βοηθητικές, με ολίγη ... τριγωνομετρία.


21-10 Διπλάσια γωνία.PNG
21-10 Διπλάσια γωνία.PNG (6.18 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ABC είναι  \displaystyle AC = 3\sqrt {15} και στο CAS είναι CS=12.

Από Τριγωνομετρικό CEVA στο ABC είναι

 \displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{AC \cdot \eta \mu \theta }}{{BC \cdot \eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \frac{3}{8} = \frac{{3\sqrt {15}  \cdot \eta \mu \theta }}{{16 \cdot \eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \eta \mu \omega  = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\eta \mu \theta  = \frac{{\sqrt {15} }}{8} .

Είναι  \displaystyle \eta \mu 2\theta  = 2\eta \mu \theta  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta  = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt {15} }}{4} = \frac{{\sqrt {15} }}{8} .

Άρα  \displaystyle \eta \mu \theta  = \eta \mu 2\omega και αφού οι γωνίες είναι οξείες, θα είναι  \displaystyle \omega  = 2\theta .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διπλάσια γωνία 40

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 21, 2018 7:44 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 21, 2018 2:53 pm
.. η (προσφιλής μας) Τριγωνομετρία τίθεται υπό.. :) .."περιορισμένη ευαρέσκεια''
Φιλικά (πάντοτε και προς όλους) , Γιώργος .

Μία προσφιλής έκφραση του KARKAR ( σχεδόν moto , για τους γνωρίζοντες ) , είναι :

"Λίγη τριγωνομετρία δεν έβλαψε ποτέ κανέναν " . Αλλά εδώ πρόκειται για πόκα :

Πότε κερδίζει η κέντα , πότε τα τρία , στην περίπτωσή μας η κέντα ( ευκλείδεια λύση 8-) )


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διπλάσια γωνία 40

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 21, 2018 11:54 pm

Καλό βράδυ. Ασφαλώς και είναι γνωστή η ως άνω έκφραση του φίλου KARKAR. Ο ίδιος την στήριξε δίνοντας ουκ ολίγες φορές και τριγωνομετρικές λύσεις !
Στη συνέχεια μια ακόμη προσέγγιση υπέρ της .. κέντας !
21-10 Διπλάσια γωνία  ΚΑRKAR.PNG
21-10 Διπλάσια γωνία ΚΑRKAR.PNG (6.95 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
Με το M μέσον της CS και I την τομή των AM,BC έχουμε AM=MC=MS=6 και \widehat{CMI}=2\theta . Αρκεί να δείξουμε ότι CI=MI.

Ας επικαλεστούμε δις τον Μενέλαο : Στο τρίγωνο BSC με διατέμνουσα την AMI παίρνουμε CI=24/7
και στο BIA με διατέμνουσα την CMS προκύπτει MI=24/7=CI άρα \omega =2\theta .
Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσια γωνία 40

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 23, 2018 11:20 am

Στο τρίγωνο CSB φέρνω τη διχοτόμο BE και στο τρίγωνο EBC τη διάμεσο EM.

CS = 12 ( Π. Θ στα \vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ASC) . CE = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES = 4 ( Θ . διχοτόμου στο CSB).
Διπλάσια γωνία 40_new_1.png
Διπλάσια γωνία 40_new_1.png (35.57 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

Φέρνω τώρα τη κάθετη στην CS στο E που τέμνει την ευθεία AB στο T και τη κάθετη ,CN, στο EM από το C.

Επειδή προφανώς \vartriangle MEB = \vartriangle SEB\,\,(\Pi  - \Gamma  - \Pi ) τα ορθογώνια τρίγωνα ETS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NCM είναι όμοια .

Αλλά στο ισοσκελές τρίγωνο CEM το ύψος CN είναι και διχοτόμος , άρα \widehat {{\omega _1}} = \widehat T = \widehat \theta  \Rightarrow 2\widehat \theta  = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\omega _2}} = \widehat \omega .

Η άσκηση έγινε πολύ δημοφιλής και αυτό είναι πολύ ευχάριστο! . Τα μήκη AT και EM υπολογίζονται και είναι : 13 και 4 αντίστοιχα.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διπλάσια γωνία 40

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 23, 2018 1:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 18, 2018 1:32 pm
Διπλάσια γωνία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , δείξτε ότι \omega=2\theta . Λύσεις

με χρήση τριγωνομετρίας δεκτές , αν και όχι ιδιαίτερα επιθυμητές :mrgreen:
Καλημέρα μια λύση ακόμη με το Θ.Θαλή που θα τρίζουν τα κόκκαλα του με τον εξοβελισμό της Γεωμετρίας ....

Εστω ότι CS\perp OC,BJ\perp OCJ,OI=IS=CI
Ειναι CS=12,AC=3\sqrt{15},OS=48,OC=12\sqrt{15},IC=IO=IS=24
Απο το Πυθαγόρειο Θεώρημα .Εφόσον CS//JB\Leftrightarrow \dfrac{CJ}{SB}=\dfrac{OC}{OS}\Rightarrow CJ=2\sqrt{15},JB=14

Τα τρίγωνα CIA,CJB
είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και \dfrac{CA}{IA}=\dfrac{\sqrt{15}}{7}=\dfrac{CJ}{JB}
συνεπώς \hat{CBJ}=\omega =\hat{CIA}=2\theta



Γιάννης
Συνημμένα
Διπλάσια γωνία 40.png
Διπλάσια γωνία 40.png (66.28 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης