Μαγική σταθερότητα

KARKAR · #1

: Μαγική σταθερότητα.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Σημείο

, κινείται επί του δεξιού κλάδου της παραβολής με εξίσωση : f(x)=kx^2 , k>0

.

Το τμήμα

και η εφαπτομένη της καμπύλης στο

, σχηματίζουν την ( οξεία ) γωνία $\theta$ .

Χρησιμοποιώντας κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό , δείξτε ότι η $\theta$ παίρνει μέγιστη τιμή

,

η οποία μάλιστα είναι ανεξάρτητη από την τιμή του

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 26-10-2018 Γεωμετρία.jpg (65.33 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Έστω

.

Η εφαπτομένη

της παραβολής στο

έχει εξίσωση $\displaystyle y = 2kax - k{a^2}$ . Επίσης, είναι $\displaystyle OS:\;y = kax$ .

Οπότε $\displaystyle \theta = \widehat {SAx} - \widehat {SOx} \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \frac{{2ak - ka}}{{1 + 2{k^2}{a^2}}} = \frac{{ka}}{{1 + 2{k^2}{a^2}}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{kx}}{{1 + 2{k^2}{x^2}}},\;\;x > 0,\;k > 0$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{k - 2{k^3}{x^2}}}{{{{\left( {1 + 2{k^2}{x^2}} \right)}^2}}}$ , που μηδενίζεται για $\displaystyle x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2k}}$ .

Με πίνακα μονοτονίας δείχνουμε ότι έχει μέγιστο, το οποίο είναι $\displaystyle f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{2k}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$ , πράγματι ανεξάρτητο του

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 26, 2018 1:40 pm
Μαγική σταθερότητα.pngΣημείο , κινείται επί του δεξιού κλάδου της παραβολής με εξίσωση : .

Το τμήμα και η εφαπτομένη της καμπύλης στο , σχηματίζουν την ( οξεία ) γωνία $\theta$ .

Χρησιμοποιώντας κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό , δείξτε ότι η $\theta$ παίρνει μέγιστη τιμή ,

η οποία μάλιστα είναι ανεξάρτητη από την τιμή του

Καλησπέρα!

Καταλήγω στην ίδια συνάρτηση με το Γιώργο Ρίζο, αλλά λίγο διαφορετικά.

: Μαγική σταθερότητα.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο και το

μέσο του

$\displaystyle \theta = O\widehat SA - \omega \Leftrightarrow \tan \theta = \dfrac{{\dfrac{1}{{kx}} - \dfrac{1}{{2kx}}}}{{1 + \dfrac{1}{{2{k^2}{x^2}}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = f(x) = \dfrac{{kx}}{{2{k^2}{x^2} + 1}}}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Γιώργος ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επειδή

$1+2k^2x^2=1+(\sqrt{2}kx)^2\geq 2\sqrt{2}kx$

με ισότητα αν και μόνο αν

$1=\sqrt{2}kx$

το μέγιστο πιάνεται για

$x=\frac{1}{\sqrt{2}k}$

και είναι

$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

KARKAR · #5

Τέλεια ! Βρίσκω τη διαπίστωση αυτή εξαιρετικά εντυπωσιακή . Επιπλέον ,

αν χρησιμοποιούσαμε το ημίτονο , θα βρίσκαμε : $\sin\theta_{max}=\dfrac{1}{3}$

KARKAR · #6

Μια ακόμη εκ των υστέρων παρατήρηση . Το σημείο

, βρίσκεται στο ύψος της εστίας της παραβολής .

Τούτου αποδειχθέντος , είναι : $\tan\theta=\dfrac{m-k}{1+mk}$ , όπου

, η κλίση της εφαπτομένης

και

, η κλίση του

, ( τύπος "παροπλισμένος" αλλά όχι για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς ) .

Μαγική σταθερότητα

Μαγική σταθερότητα

Re: Μαγική σταθερότητα

Re: Μαγική σταθερότητα

Re: Μαγική σταθερότητα

Re: Μαγική σταθερότητα

Re: Μαγική σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση