Δευτερεύοντα στοιχεία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10863
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δευτερεύοντα στοιχεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 31, 2018 8:10 am

Δευτερεύοντα  στοιχεία.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.png (6.97 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , το σημείο S είναι η τομή του ύψους AD

με τη διχοτόμο BE . Αν το τρίγωνο SAE είναι επίσης ισοσκελές , ( SA=SE ) , τότε :

α) Βρείτε το μέτρο της γωνίας \hat{C} ...και β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AD}{BE}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4406
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Δεκ 31, 2018 8:56 am

Καλημέρα σε όλους.

Ξεκινάμε με κυνήγι γωνιών, τα ίχνη του οποίου φαίνονται στο σχήμα.


31-12-2018 Γεωμετρία.jpg
31-12-2018 Γεωμετρία.jpg (29.17 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές

Είναι  \displaystyle \widehat {BEC} = \widehat B + \widehat {BAD} άρα  \displaystyle 90^\circ  + \omega  - \varphi  = 180^\circ  - \omega  \Leftrightarrow 2\omega  - \varphi  = 90^\circ (1)

Επίσης, στο DAC είναι  \displaystyle \omega  + 2\varphi  = 90^\circ (2)

Από (1) και (2) έχουμε  \displaystyle \omega  = 54^\circ ,\;\;\varphi  = 18^\circ άρα  \displaystyle \widehat C = 36^\circ

Είναι  \displaystyle AD = \eta \mu 36^\circ  \cdot b .

Από Ν. Ημιτόνων στο BEC είναι  \displaystyle \frac{{BE}}{{\eta \mu 36^\circ }} = \frac{a}{{\eta \mu 54^\circ }} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = \frac{{\eta \mu 36^\circ }}{{\eta \mu 54^\circ }} \cdot a .

Επίσης στο ABC είναι  \displaystyle \frac{b}{{\eta \mu 36^\circ }} = \frac{a}{{\eta \mu 108^\circ }} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\eta \mu 36^\circ }}{{2\eta \mu 54^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu 54^\circ }} .

Οπότε  \displaystyle \frac{{AD}}{{BE}} = \eta \mu 54^\circ  \cdot \frac{b}{a} = \frac{{\eta \mu 54^\circ  \cdot \eta \mu 36^\circ }}{{2\eta \mu 54^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu 54^\circ }} = \frac{1}{2}.

Με άλλα λόγια σε ένα κανονικό πεντάγωνο το ύψος AM είναι το μισό της διχοτόμου BK. Θανάση, υπάρχει αυτό στη βιβλιογραφία ή είναι ανακάλυψή σου ;


31-12-2018 Γεωμετρία.png
31-12-2018 Γεωμετρία.png (24.95 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8424
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 31, 2018 9:39 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 8:10 am
Δευτερεύοντα στοιχεία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , το σημείο S είναι η τομή του ύψους AD

με τη διχοτόμο BE . Αν το τρίγωνο SAE είναι επίσης ισοσκελές , ( SA=SE ) , τότε :

α) Βρείτε το μέτρο της γωνίας \hat{C} ...και β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AD}{BE}
Καλημέρα σε όλους!
Δευτερεύοντα στοιχεία.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
α) \displaystyle 3\theta  + 2\theta  = 90^\circ  \Leftrightarrow \theta  = 18^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\widehat C=36^\circ}

β) \displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{2b}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{{2b}}{{a + 2b}} \Leftrightarrow \boxed{AD = \frac{{(a + 2b)AS}}{{2b}}} (1)

\displaystyle \frac{{BS}}{{SE}} = \frac{{a + b}}{b} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{SE}} = \frac{{a + 2b}}{b} \Leftrightarrow BE = \frac{{(a + 2b)SE}}{b}\mathop  = \limits^{AS = SE} \frac{{(a + 2b)AS}}{b}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{\frac{AD}{BE}=\frac{1}{2}}


Ένα άλλο ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι ο έγκυκλος του τριγώνου διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10863
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 31, 2018 9:59 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 8:56 am
Με άλλα λόγια σε ένα κανονικό πεντάγωνο το ύψος AM είναι το μισό της διχοτόμου BK.

Θανάση
, υπάρχει αυτό στη βιβλιογραφία ή είναι ανακάλυψή σου ;
Γιώργο , είναι μια από τις συμπτωματικές ανακαλύψεις (λόγω Gegebra ) ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8424
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 31, 2018 10:06 am

Αλλιώς για το β)
Δευτερεύοντα στοιχεία.β.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.β.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
Αν M είναι το μέσο της διχοτόμου τότε το AMDE είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα, AD=ME=\dfrac{BE}{2}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6732
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 31, 2018 11:08 am

α) Προφανώς : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat C = 2\widehat \theta  \hfill \\ 
  \widehat \omega  = \widehat C + \widehat \theta  \hfill \\ 
  \widehat \omega  = 90^\circ  - \widehat C \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat \theta  = 18^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat C = 36^\circ  \hfill \\ 
  \widehat \omega  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. = 54^\circ
Δευτερεύοντα  στοιχεία.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές
β) Έστω M το μέσο του BE. Τότε MD// = \dfrac{{AC}}{2} , συνεπώς : το τρίγωνο SMD είναι κι αυτό ισοσκελές . Θέτω : \left\{ \begin{gathered} 
  SA = SE = x\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  SD = SM = y \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Επειδή AD = x + y = ME = \dfrac{1}{2}BE \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AD}}{{BE}} = \dfrac{1}{2}}

Εντάξει Γιώργο( Βισβίκη) άφησε και κανένα άλλο να γράψει τίποτα. Το αφήνω.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1677
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 31, 2018 11:44 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 8:10 am
Δευτερεύοντα στοιχεία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , το σημείο S είναι η τομή του ύψους AD

με τη διχοτόμο BE . Αν το τρίγωνο SAE είναι επίσης ισοσκελές , ( SA=SE ) , τότε :

α) Βρείτε το μέτρο της γωνίας \hat{C} ...και β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AD}{BE}

Καλημέρα και καλή χρονιά..


\displaystyle \omega  = \frac{A}{2} = \frac{{3C}}{2} \Rightarrow 5C = {180^0} \Rightarrow \boxed{C = {{36}^0}}

Έστω \displaystyle CL \bot BE και \displaystyle AH \bot CL.Τότε, \displaystyle AC διχοτόμος της \displaystyle \angle ZCB \Rightarrow AD = AH και \displaystyle HC = CD = \frac{{BC}}{2}

Ισχύει , \displaystyle AH//EL \Rightarrow \frac{{AH}}{{EL}} = \frac{{HC}}{{CL}} = \frac{{BC}}{{2LC}}(1) και \displaystyle \frac{{EL}}{{BE}} = \frac{{LC}}{{BC}}(2)

\displaystyle (1) \cdot (2) \Rightarrow \frac{{AH}}{{BE}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{{AD}}{{BE}} = \frac{1}{2}}
D.S.png
D.S.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1819
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Δεκ 31, 2018 12:54 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 8:10 am
Δευτερεύοντα στοιχεία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , το σημείο S είναι η τομή του ύψους AD

με τη διχοτόμο BE . Αν το τρίγωνο SAE είναι επίσης ισοσκελές , ( SA=SE ) , τότε :

α) Βρείτε το μέτρο της γωνίας \hat{C} ...και β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AD}{BE}


α) Για τις γωνίες \hat{ABE}=\hat{EBC}=\phi ,\hat{BAD}=\hat{DAC}=\omega ,\hat{C}=2\phi
στα τρίγωνα ABE,ABC,3\omega +\phi =180^{0},4\phi +2\omega =180^{0}, \phi =18^{0},\omega =54^{0},\hat{C}=36^{0}


β)\hat{ALD}=3\phi =54^{0}=\omega ,AD=\upsilon =DL,JL//BE, \dfrac{DL}{BE}=\dfrac{LC}{EC}\Leftrightarrow BE=\dfrac{DL.EC}{LC},(1)

Θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,EC=\dfrac{ab}{a+b},(2)

Απο Θ.Μενελάου στο τρίγωνο ABC με τέμνουσα JDL,\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{a+2b}{a}\Rightarrow LC=\dfrac{ab}{2(a+b)},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow BE=2\upsilon =2AD\Leftrightarrow \dfrac{AD}{BE}=\dfrac{1}{2}





Γιάννης
Συνημμένα
Δευτερεύοντα στοιχεία.png
Δευτερεύοντα στοιχεία.png (40.8 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης