Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

#1

: Αλγεβρική παρέμβαση.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου ABC

με

εφάπτεται της

στο

και η

τον επανατέμνει στο

Η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει τις AB, AC

στα

αντίστοιχα. Αν AM=m, AN=n

και $BC=\dfrac{9n+10}{7},$

να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{m}{n}.$

#2

Επαναφορά.

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 22, 2019 7:19 pm
Αλγεβρική παρέμβαση.png
Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου με εφάπτεται της στο και η τον επανατέμνει στο

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν και $BC=\dfrac{9n+10}{7},$

να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{m}{n}.$

Σίγουρα θα υπάρχει κάτι πιο απλό και όμορφο...

: logos_gia_algevrikh_paremvash.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Έστω

το σημείο τομής της ευθείας

με την ευθεία

. Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο CSN

με διατέμνουσα την ευθεία

, έχουμε

$\dfrac{NE}{ES} \cdot \dfrac{SD}{DC} \cdot \dfrac{CA}{NA} =1 \Rightarrow \dfrac{NE}{DC} \cdot \dfrac{CA}{NA} =1 \Rightarrow \dfrac{AZ-AN}{DC} \cdot \dfrac{CA}{NA} = 1 \Rightarrow$

$\dfrac{p-BC-AN}{p-AB} \cdot \dfrac{CA}{NA}=1 \Rightarrow \dfrac{116-23n}{9n+24} \cdot \dfrac{10}{n} =1 \Rightarrow n=4$

Όπου $p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}= \dfrac{136+9n}{14}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου ABC

.

Από το θεώρημα Brianchon

στο εκφυλισμένο εξάγωνο BMENCD

, οι διαγώνιοί του BN,CM, DE

θα τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

. Τότε από το θεώρημα Ceva στο τρίγωνο ABC

θα έχουμε

$\dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AN}{NC} \cdot \dfrac{CD}{DB} =1 \Rightarrow \dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AN}{NC} \cdot \dfrac{p-AB}{p-AC} =1 \Rightarrow$

$\dfrac{8-m}{m} \cdot \dfrac{n}{10-n} \cdot \dfrac{9n+24}{9n-4} =1 \Rightarrow \dfrac{8}{m}-1=\dfrac{(10-n)(9n-4)}{n(9n+24)} \Rightarrow$

$\dfrac{8}{m} = \dfrac{(10-n)(9n-4)+n(9n+24)}{n(9n+24)} \Rightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{8(9n+24)}{(10-n)(9n-4)+n(9n+24)} \Rightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{10}{9}$ .

#4

Σ'' ευχαριστώ Αλέξανδρε για τη λύση. Να δώσω μια διαφορετική προσέγγιση.

Φέρνω MP//BC, NQ//BC

και έστω

η ημιπερίμετρος του ABC.

Είναι, $\displaystyle s = 9 + \frac{{9n + 10}}{{14}} = \frac{{136 + 9n}}{{14}} \Rightarrow s - a = \frac{{116 - 9n}}{{14}}$

: Αλγεβρική παρέμβαση.ΙΙ.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

$\displaystyle \frac{n}{{10}} = \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{n + QN}}{{10 + s - 8}} = \frac{{AZ}}{{s + 2}} = \frac{{s - a}}{{s + 2}} = \frac{{116 - 9n}}{{164 + 9n}} \Leftrightarrow$ $\boxed{n=4}$

Ομοίως, $\displaystyle \frac{m}{8} = \frac{{s - a}}{{s - 2}} = \frac{{116 - 9n}}{{108 + 9n}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{n = 4} m = \frac{{40}}{9}$ και $\boxed{\frac{m}{n} = \frac{{10}}{9}}$

Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

Re: Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

Re: Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

Re: Λόγος για αλγεβρική παρέμβαση

Μέλη σε σύνδεση