Εξίσωση με ακέραιους

Συντονιστές: silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Εξίσωση με ακέραιους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Φεβ 03, 2019 5:11 pm

Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων (x,y) που επαληθεύουν την εξισωση y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2711
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εξίσωση με ακέραιους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Φεβ 03, 2019 11:40 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 5:11 pm
Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων (x,y) που επαληθεύουν την εξισωση y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
Πρόκειται για πρόβλημα της IMO 1983 Longlist το οποίο προτάθηκε από το Βέλγιο.

Παρατηρούμε ότι

y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right)^2= \frac{3}{4} x^2 + x + 1>0

για κάθε x, ενώ

y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right+1)^2=-\frac{5}{4}x^2<0,

για κάθε x>0, και άρα

x^2 + \frac{1}{2} x<y<x^2 + \frac{1}{2} x+1.

Από την τελευταία, είναι φανερό ότι ο x είναι περιττός (αλλιώς ο ακέραιος y θα ήταν ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακέραιους).

Έτσι, y\geq x^2 + \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} , οπότε

0\leq y^2-(x^2 + \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} )^2=-\frac{3}{4}(x+1)(x-3).

Συνεπώς, x=1 ή x=3, από τους οποίους μόνο το x=3 δίνει λύση y=11.

Άρα,το μόνο ζευγάρι θετικών ακεραίων που ικανοποιεί τη δοθείσα εξίσωση είναι το (x,y)=(3,11).

Το πρόβλημα της longlist ζητούσε όλα τα ακέραια ζεύγη τα οποία είναι τα (x,y)=(-1,1), (0,1) και (3,11).

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης