Εξίσωση με ακέραιους
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Εξίσωση με ακέραιους
Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων που επαληθεύουν την εξισωση
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εξίσωση με ακέραιους
Πρόκειται για πρόβλημα της IMO 1983 Longlist το οποίο προτάθηκε από το Βέλγιο.Xriiiiistos έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 03, 2019 5:11 pmΝα βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων που επαληθεύουν την εξισωση
Παρατηρούμε ότι
για κάθε , ενώ
,
για κάθε , και άρα
.
Από την τελευταία, είναι φανερό ότι ο είναι περιττός (αλλιώς ο ακέραιος θα ήταν ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακέραιους).
Έτσι, , οπότε
Συνεπώς, ή , από τους οποίους μόνο το δίνει λύση .
Άρα,το μόνο ζευγάρι θετικών ακεραίων που ικανοποιεί τη δοθείσα εξίσωση είναι το .
Το πρόβλημα της longlist ζητούσε όλα τα ακέραια ζεύγη τα οποία είναι τα , και .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες