Παλλόμενη χορδή

KARKAR · #1

: Παλλόμενη χορδή.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Από σημείο

του νοτίου ημικυκλίου του κύκλου : x^2+y^2=25

, φέρω εφαπτόμενες

προς τον κύκλο : (x-2)^2+y^2=9

, οι οποίες τέμνουν τον αρχικό στα A,B

.

Βρείτε τη θέση του

, ώστε : α) AB=8

... β)

... γ)

.

Altrian · #2

Για τα ερωτήματα α), β).
Φέρνουμε την μεσοκάθετη της

που προφανώς διέρχεται από το

και τέμνει τον μεγάλο κύκλο έστω στο

. (Σχ.1)

$\angle AFB=\angle ASB\Rightarrow \angle AFM=\angle PSK=\angle \phi$

$tan(\phi)=3/p=a/FM=\frac{a}{5+\sqrt{25-a^{2}}}\Rightarrow p=\frac{3(5+\sqrt{25-a^{2}})}{a}$ και $q=\sqrt{p^{2}+9}$

Συνδυάζοντας τις ανωτέρω παίρνω: $q=\frac{\sqrt{450+90\sqrt{25-a^{2}}}}{a}$ [1]

α) $a=4\Rightarrow q=3\sqrt{5}=6,7082$
β) $a=4,5\Rightarrow q=5,6488$
Επομένως γράφουμε τον εκάστοτε κύκλο (K,q)

που τέμνει τον (O,5)

στο ζητούμενο σημείο

(γεωμετρική κατασκευή).

Αν θέλουμε τις συντεταγμένες του σημείου

προκύπτουν από την λύση του συστήματος για το α (ομοίως για το β):

$x^{2}+y^{2}=25$

$(x-2)^{2}+y^{2}=\left ( 3\sqrt{5} \right )^{2}$ που δίνει δύο τιμές: S=(-4,3), S=(-4,-3)

.

Ερώτημα γ)
Η μέγιστη τιμή του

είναι

δηλαδή όταν είναι διάμετρος του κύκλου (O,5)

.(Σχ.2) Τότε από τον τύπο [1]

παίρνουμε:

$a=5\Rightarrow q=2\sqrt{3}$ , οπότε γεωμετρικά το

είναι η τομή των κύκλων $(O,5),(K,3\sqrt{2})$ (δύο σημεία συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα).

Με επίλυση του αντίστοιχου συστήματος παίρνω:

S=(4,25,4,555), S=(4,25,-4,555)

#3

Είναι προφανές ότι $\theta = 4\omega = 4(90^\circ - \xi ) = 360^\circ - 4\xi$ .Έτσι $\cos \theta = \cos 4\xi$ . Αλλά

$\left\{ \begin{gathered} \cos 4\xi = 2{\cos ^2}2\xi - 1 \hfill \\ \cos 4\xi = 1 - 2{\sin ^2}2\xi \hfill \\ \tan \xi = \frac{{\sin 2\xi }}{{1 + \cos 2\xi }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\tan \xi = \frac{{\sqrt {1 - \cos \theta } }}{{\sqrt 2 - \sqrt {1 + \cos \theta } }}}$ ( αφού $\cos \theta = \cos 4\xi$ )

: Παλλόμενη χορδή.png (28.58 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Ενώ από το τρίγωνο OAB

έχω : $\boxed{\cos \theta = \frac{{{5^2} + {5^2} - {a^2}}}{{2 \cdot {5^2}}} = \frac{{50 - {a^2}}}{{50}}}$

για $a = 8\,\,,\,\,a = 9\,\,,a = 10$ προσδιορίζω από το ορθογώνιο τρίγωνο TKS

την υποτείνουσα

άρα και τη θέση του

.

Αν $a = 8\,\,,\,\,\boxed{\cos \theta = \frac{{ - 7}}{{25}}\,\,,\,\,\tan \xi = 2}$ έτσι θα είναι $TS = 6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS = 3\sqrt 5$ . Θα είναι δε SB//OK

Αν $a = 9\,\,,\,\boxed{\,\cos \theta = - \frac{{31}}{{50}}\,\,\,\,,\tan \xi = \frac{{10 + \sqrt {19} }}{9}}$ , $\boxed{TS = \frac{{10 + \sqrt {19} }}{3}\,\,\,\,,\,\,\,KS = \frac{{\sqrt {10} + \sqrt {190} }}{9}}$

: Παλλόμενη χορδή_b.png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

ενώ για $a = 10\,\,,\,\,\cos \theta = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \xi = 1\,\,(\xi = 45^\circ )$

Παλλόμενη χορδή

Παλλόμενη χορδή

Re: Παλλόμενη χορδή

Re: Παλλόμενη χορδή

Μέλη σε σύνδεση