Εκνευριστικές συναρτήσεις

KARKAR · #1

: Εκνευριστικές συναρτήσεις.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές

Το ύψος

, του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του

, ονομαζόμενο

. Η κορυφή

μετακινείται και έστω BD=x

.

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MDC

συναρτήσει του

.

β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(AEM)}{(MDC)}$ συναρτήσει του

. Εφαρμογή : $x=\dfrac{h}{3}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 8:23 pm
Εκνευριστικές συναρτήσεις.pngΤο ύψος , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του , ονομαζόμενο . Η κορυφή μετακινείται και έστω .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του .

β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(AEM)}{(MDC)}$ συναρτήσει του . Εφαρμογή : $x=\dfrac{h}{3}$

Το ύψος τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο

(αφού δεν το χρησιμοποίησε ο θεματοδότης το έβαλα εγώ

)

: Εκνευριστικές συναρτήσεις.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

α) Ως γνωστόν είναι, $DS=DM=\dfrac{h}{2}$ και $\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DS \Leftrightarrow x(a - x) = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{{{h^2} + 2{x^2}}}{{2x}}$

$\displaystyle (MDC) = \frac{1}{2}(a - x)\frac{h}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(MDC)= \frac{{{h^3}}}{{8x}}}$

β) $\displaystyle AE \cdot AB = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow AE = \frac{{{h^2}}}{{2AB}} \Leftrightarrow AE = \frac{{{h^2}}}{{2\sqrt {{h^2} + {x^2}} }}$

$\displaystyle \frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = \frac{{A{E^2}}}{{{{(a - x)}^2}}} \Leftrightarrow ...$ $\boxed{\frac{(AEM)}{(MDC)}= \frac{{{x^2}}}{{{h^2} + {x^2}}}}$ και για $x=\dfrac{h}{3},$ $\boxed{\frac{(AEM)}{(MDC)}=\frac{1}{10}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά από τη λύση του Γιώργου.

: 05-03-2019 Γεωμετρία.jpg (25.13 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Θέτω

αντί για

.

Έστω

και

.

Τότε $\displaystyle AB:\;\;y = \frac{h}{a}x + h,\;\;\;EC:\;\;y = - \frac{a}{h}x + \frac{h}{2}$ , άρα $\displaystyle C\left( {\frac{{{h^2}}}{{2a}},\;0} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {MDC} \right) = \frac{1}{2}MD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{{{h^2}}}{{2a}} = \frac{{{h^3}}}{{8a}}$ .

Είναι $\displaystyle {\left( {MC} \right)^2} = {\left( {\frac{{{h^2}}}{{2a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \frac{{{h^2}\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}}{{4{a^2}}}$ , οπότε, λόγω της ομοιότητας είναι

$\displaystyle \frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = {\left( {\frac{{AM}}{{MC}}} \right)^2} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}}{{4{a^2}}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2} + {a^2}}}$

#4

Προφανώς $\vartriangle DCM \approx \vartriangle DAB\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DCM \approx \vartriangle EAM\,$ . Θέτω DC = y

κι έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{DM}}{{DB}} \hfill \\ \frac{{AM}}{{MC}} = \lambda \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{y}{h} = \frac{{\frac{h}{2}}}{x} \hfill \\ \frac{{A{M^2}}}{{M{C^2}}} = {\lambda ^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{{{h^2}}}{{2x}} \hfill \\ {\lambda ^2} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}}}{4} + {y^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Έτσι :

: εκνευριστικές συναρτήσεις.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

α) $\boxed{(MDC) = \frac{1}{2}DC \cdot DM = \frac{1}{2}y\frac{h}{2} = \frac{{{h^3}}}{{8x}}}$ , ενώ

β) $\boxed{\frac{{(AEM)}}{{(MDC)}} = {\lambda ^2} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {h^2}}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 8:23 pm
Εκνευριστικές συναρτήσεις.pngΤο ύψος , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι σταθερό και το ορθόκεντρο του τριγώνου

είναι το μέσο του , ονομαζόμενο . Η κορυφή μετακινείται και έστω .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του .

β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(AEM)}{(MDC)}$ συναρτήσει του . Εφαρμογή : $x=\dfrac{h}{3}$

Είναι $\displaystyle \left( {ABC} \right) = 2S + \left( {ABD} \right) \Rightarrow \frac{{ah}}{2} = 2S + \frac{{xh}}{2} \Rightarrow S = \frac{{h\left( {a - x} \right)}}{4}$

Αλλά $\displaystyle \tan \theta = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{MD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{a - x}}{h} = \frac{{\frac{h}{2}}}{x} \Rightarrow a - x = \frac{{{h^2}}}{{2x}}$ .Άρα $\displaystyle \boxed{S = \left( {MDC} \right) = \frac{{{h^3}}}{{8x}}}$

Είναι $\displaystyle M{C^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + {\left( {a - x} \right)^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + \frac{{{h^4}}}{{4{x^2}}}$ και $\displaystyle \frac{{\left( {AEM} \right)}}{{\left( {MDC} \right)}} = \frac{{A{M^2}}}{{M{C^2}}} = \frac{{\frac{{{h^2}}}{4}}}{{\frac{{{h^2}}}{4} + \frac{{{h^4}}}{{4{x^2}}}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {AEM} \right)}}{{\left( {MDC} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {h^2}}}}$

: εκνευριστικές συναρτήσεις.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Εκνευριστικές συναρτήσεις

Εκνευριστικές συναρτήσεις

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

Re: Εκνευριστικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση