Περιγεγραμμένος ρόμβος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Περιγεγραμμένος ρόμβος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 19, 2019 12:11 pm

Περιγεγραμμένος ρόμβος.png
Περιγεγραμμένος ρόμβος.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Να κατασκευάσετε ρόμβο ABCD με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν, του οποίου οι πλευρές να εφάπτονται στην έλλειψη με εξίσωση
\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ελάχιστο αυτό εμβαδόν (ο υπολογισμός μπορεί να προηγηθεί της κατασκευής).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Περιγεγραμμένος ρόμβος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Μαρ 21, 2019 9:59 am

Αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το τρίγωνο OBC

Αν η BC εφάπτεται στην έλλειψη στο σημείο της (x_0, y_0), τότε (απλό):

x_C=a^2/x_0,  y_B=b^2/y_0 και

(OBC)=(a^2b^2)/(2x_0y_0)

Το (OBC) γίνεται ελάχιστο όταν το γινόμενο x_0y_0 γίνει μέγιστο. Τότε γίνεται μέγιστο και το γινόμενο

(x_0/a)^2 (y_0/b)^2.

Οι όροι του γινομένου αυτού έχουν σταθερό άθροισμα ίσο με 1. Επομένως έχουμε μέγιστο όταν γίνουν ίσοι με 1/2, οπότε βρίσκουμε

x_0=\dfrac{a}{\sqrt{2}}, y_0=\dfrac{b}{ \sqrt{2}}

κ.λπ.

ΥΓ. Δεν ξαναγράφω από κινητό! :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης