Σελίδα 1 από 1

Περιγεγραμμένος ρόμβος

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 19, 2019 12:11 pm
από george visvikis
Περιγεγραμμένος ρόμβος.png
Περιγεγραμμένος ρόμβος.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές
Να κατασκευάσετε ρόμβο ABCD με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν, του οποίου οι πλευρές να εφάπτονται στην έλλειψη με εξίσωση
\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ελάχιστο αυτό εμβαδόν (ο υπολογισμός μπορεί να προηγηθεί της κατασκευής).

Re: Περιγεγραμμένος ρόμβος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 21, 2019 9:59 am
από rek2
Αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το τρίγωνο OBC

Αν η BC εφάπτεται στην έλλειψη στο σημείο της (x_0, y_0), τότε (απλό):

x_C=a^2/x_0,  y_B=b^2/y_0 και

(OBC)=(a^2b^2)/(2x_0y_0)

Το (OBC) γίνεται ελάχιστο όταν το γινόμενο x_0y_0 γίνει μέγιστο. Τότε γίνεται μέγιστο και το γινόμενο

(x_0/a)^2 (y_0/b)^2.

Οι όροι του γινομένου αυτού έχουν σταθερό άθροισμα ίσο με 1. Επομένως έχουμε μέγιστο όταν γίνουν ίσοι με 1/2, οπότε βρίσκουμε

x_0=\dfrac{a}{\sqrt{2}}, y_0=\dfrac{b}{ \sqrt{2}}

κ.λπ.

ΥΓ. Δεν ξαναγράφω από κινητό! :lol: