ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

Συντονιστές: silouan, rek2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Απρ 16, 2019 12:23 pm

Είναι γνωστό ότι αν ασχολείσαι με κάτι σοβαρά και για χρόνια , προκύπτουν κάποια συμπεράσματα φαινομενικά από το πουθενά...
Κάτι τέτοιο είναι και η παρακάτω ανισότητα.
Σας την προτείνω γιατί ίσως η λύση που έχω στο μυαλό μου να μην είναι η πιο απλή...
Ας δω κι άλλες σκέψεις...


Σε τρίγωνο ABC να αποδειχθεί ότι

 \displaystyle 4sin\frac{A+B}{4}sin\frac{B+C}{4}sin\frac{C+A}{4}\geq \frac{r}{R}



Λέξεις Κλειδιά:
Math Rider
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math Rider » Τρί Απρ 16, 2019 3:55 pm

Θέτοντας  x=\dfrac{A}{2},y=\dfrac{B}{2}, z=\dfrac{C}{2} στην γνωστή ταυτότητα
\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}-\sin{(x+y+z)}=4\sin{\dfrac{x+y}{2}}\sin{\dfrac{y+z}{2}}\sin{\dfrac{z+x}{2}} παίρνουμε ότι

\sin{\dfrac{A}{2}}+\sin{\dfrac{B}{2}}+\sin{\dfrac{C}{2}}-1=4\sin{\dfrac{A+B}{4}}\sin{\dfrac{B+C}{4}}\sin{\dfrac{C+A}{4}}.

Έτσι έχουμε να αποδείξουμε ότι \sin{\dfrac{A}{2}}+\sin{\dfrac{B}{2}}+\sin{\dfrac{C}{2}} \geq 1+ \dfrac{r}{R}.

Από την ανισότητα Popoviciu για την κοίλη συνάρτηση  \cos{x}: \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right) \rightarrow (0,1) έχουμε

2\cos{\dfrac{A+B}{2}}+2\cos{\dfrac{B+C}{2}}+2\cos{\dfrac{C+A}{2}} \geq \cos{A}+ \cos{B}+\cos{C}+ 3\cos{\dfrac{A+B+C}{3}} ή

2\sin{\dfrac{A}{2}}+2\sin{\dfrac{B}{2}}+2\sin{\dfrac{C}{2}} \geq 1+ \dfrac{r}{R}+ \dfrac{3}{2} ή \sin{\dfrac{A}{2}}+\sin{\dfrac{B}{2}}+\sin{\dfrac{C}{2}} \geq \dfrac{5}{4} + \dfrac{r}{2R} .

Απομένει τώρα να δείξουμε ότι  \dfrac{5}{4} +\dfrac{r}{2R} \geq 1+ \dfrac{r}{R}\geq ή \dfrac{1}{4}  \geq \dfrac{r}{2R} ή R\geq 2r , η οποία είναι η γνωστή ανισότητα Euler.


Νίκος Κ.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Απρ 16, 2019 9:27 pm

Μια απλούστερη απόδειξη βασίζεται στο ότι ισχύει

\displaystyle{1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C,}

οπότε, επειδή είναι,

\displaystyle{\cos A+\cos B=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{B-C}{2}\leq 2\sin \frac{C}{2}}

προκύπτει

\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}}

που είναι η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8432
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 17, 2019 4:13 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 12:23 pm
Είναι γνωστό ότι αν ασχολείσαι με κάτι σοβαρά και για χρόνια , προκύπτουν κάποια συμπεράσματα φαινομενικά από το πουθενά...
Κάτι τέτοιο είναι και η παρακάτω ανισότητα.
Σας την προτείνω γιατί ίσως η λύση που έχω στο μυαλό μου να μην είναι η πιο απλή...
Ας δω κι άλλες σκέψεις...


Σε τρίγωνο ABC να αποδειχθεί ότι

 \displaystyle 4sin\frac{A+B}{4}sin\frac{B+C}{4}sin\frac{C+A}{4}\geq \frac{r}{R}

Αλλιώς. Ισχύει \displaystyle 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{r}{R}

Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι: \boxed{\sin \frac{{A + B}}{4}\sin \frac{{B + C}}{4}\sin \frac{{A + C}}{4} \ge \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} (1)


Αλλά, \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\sin \frac{{A + B}}{4} + \sin \frac{{A - B}}{4} = 2\sin \frac{A}{4}\cos \frac{B}{4}\\ 
\\ 
\sin \frac{{A + B}}{4} - \sin \frac{{A - B}}{4} = 2\sin \frac{B}{4}\cos \frac{A}{4} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  {\sin ^2}\frac{{A + B}}{4} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = {\sin ^2}\frac{{A - B}}{4} \ge 0


Άρα, \displaystyle \sin \frac{{A + B}}{4} \ge \sqrt {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} . Με κυκλική εναλλαγή των γραμμάτων και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1).


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Παρ Απρ 19, 2019 12:02 am

Nα ευχαριστήσω όσους ασχολήθηκαν με το θέμα...
Την δική μου λύση ας μην την δημοσιεύσω , αποτελείται από κάποιες σκέψεις που με βοήθησαν να φτάσω στην διατύπωση της ανισότητας...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες