Σελίδα 1 από 1

Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 9:16 am
από KARKAR
Γωνία   υποτείνουσας διαμέσου.png
Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Οι πλευρές AB,AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , έχουν σταθερό άθροισμα AB+AC=a .

Ενδιαφερόμαστε για την γωνία \theta , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα BC με τη διάμεσο BM .

α) Για ποια θέση του B είναι : \tan\theta=\dfrac{1}{3} ... β) Υπολογίστε το \sin\theta , όταν η \theta γίνεται μέγιστη .

Re: Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 11:25 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 9:16 am
Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.pngΟι πλευρές AB,AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , έχουν σταθερό άθροισμα AB+AC=a .

Ενδιαφερόμαστε για την γωνία \theta , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα BC με τη διάμεσο BM .

α) Για ποια θέση του B είναι : \tan\theta=\dfrac{1}{3} ... β) Υπολογίστε το \sin\theta , όταν η \theta γίνεται μέγιστη .
\displaystyle \tan \theta  = \tan (B - \omega ) = \dfrac{{\dfrac{{a - x}}{x} - \dfrac{{a - x}}{{2x}}}}{{1 + \dfrac{{{{(a - x)}^2}}}{{2{x^2}}}}} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{ax - {x^2}}}{{3{x^2} - 2ax + {a^2}}}} (1)
Γωνία υποτείνουσας-διαμέσου.png
Γωνία υποτείνουσας-διαμέσου.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
α) \displaystyle \tan \theta  = \frac{1}{3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 6{x^2} - 5ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{a}{2}} ή \boxed{x=\frac{a}{3}}

β) Η γωνία \theta μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται και η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \tan \theta  = \frac{{ax - {x^2}}}{{3{x^2} - 2ax + {a^2}}}

Αυτό συμβαίνει για \displaystyle x = a(\sqrt 2  - 1) και τότε είναι \displaystyle \tan \theta  = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. Αλλά, \displaystyle {\sin ^2}\theta  = \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \Leftrightarrow \boxed{ \sin \theta  = \frac{1}{3}}