Σελίδα 1 από 1

Κριτήριο χαρταετού

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
από george visvikis
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Re: Κριτήριο χαρταετού

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 25, 2019 7:09 pm
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Καλησπέρα!
Έστω K,L οι τομές των BC,BA με τις απο το D παράλληλες στις AB,BC αντίστοιχα. Απο τις παραλληλίες έχουμε \widehat{KDC}=\widehat{CDB}=\widehat{ABD}/2 και \widehat{LDA}=\widehat{ADB}=\widehat{DBC}/2.
Με θ.διχοτόμου στα \overset{\Delta }{DBK} και \overset{\Delta }{DBL} έχω αντίστοιχα:

\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{DB}{DK}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{CB}=\dfrac{DK}{CK}\,\,(1)

\dfrac{AB}{AL}=\dfrac{DB}{DL}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DL}{AL}\overset{AB=BC}{\Leftrightarrow }\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{DL}{AL}\,\,(2)
Απο τις (1) και (2) πέρνουμε \dfrac{DK}{CK}=\dfrac{DL}{AL}. Ακόμη το LBKD είναι παραλληλόγραμμο, άρα \widehat{L}=\widehat{K}. Απο τα παραπάνω προκύπτει \overset{\Delta }{DAL}\approx \overset{\Delta }{DCK}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADL}=\widehat{CDK}=\widehat{BDC} άρα στα τρίγωνα BAD,BDC \widehat{ADB}=\widehat{BDC},\widehat{ABC}=\widehat{DBC} BC κοινή , άρα και AD=DC.
Κριτήριο χαρταετού.PNG
Κριτήριο χαρταετού.PNG (25.82 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Re: Κριτήριο χαρταετού

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 26, 2019 12:26 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Στην DB θεωρούμε σημείο K με BK=BA=BC οπότε \angle AKB=x, \angle BKC=y \Rightarrow AKCD παραλ/μμο

Έτσι AM=MC \Rightarrow KBD μεσοκάθετος της AC \Rightarrow AD=CD
Κριτήριο χαρταετού.png
Κριτήριο χαρταετού.png (39.67 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Re: Κριτήριο χαρταετού

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 26, 2019 8:05 pm
από Γιώργος Ρίζος
Καλησπέρα σε όλους. Παραθέτω μια ακόμα αμιγώς γεωμετρική λύση στο πρόβλημα του Γιώργου, με απαγωγή σε άτοπο,δίχως να χρησιμοποιήσω βοηθητικές.

26-09-2019 Γεωμετρία.jpg
26-09-2019 Γεωμετρία.jpg (27.25 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Έστω  \displaystyle AD > DC , οπότε, αφού στα ABD, BCD έχουμε δύο ίσες πλευρές ίσες και τις τρίτες άνισες, θα είναι και  \displaystyle 2\omega  > 2\varphi  \Rightarrow \omega  > \varphi (1).

Επίσης, στο ADC είναι  \displaystyle AD > DC \Rightarrow \widehat {DCA} > \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {DCA} + \kappa  > \widehat {DAC} + \kappa  \Rightarrow \widehat C > \widehat A (2).

Άρα από (1) και (2) έχουμε  \displaystyle \omega  + \widehat C > \varphi  + \widehat A \Rightarrow 180^\circ  - \left( {\omega  + \widehat C} \right) < 180^\circ  - \left( {\varphi  + \widehat A} \right) \Rightarrow 2\varphi  > 2\omega , άτοπο.

Ομοίως οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε AD<DC, οπότε είναι ίσα.

Re: Κριτήριο χαρταετού

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 26, 2019 8:56 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Με DA \cap CB=L,DC \cap AB=M \Rightarrow  \angle ALB=x, \angle BMC=y .Έτσι BD=LB=BM και

\triangle LAB= \triangle MBC \Rightarrow x=y \Rightarrow 2x=2y

Άρα BD μεσοκάθετος της AC \Rightarrow DA=DC
κριτήριο για χαρταετό.png
κριτήριο για χαρταετό.png (45.02 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές