Μέγιστη γωνία 24

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10878
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη γωνία 24

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 26, 2019 8:43 pm

Μέγιστη  γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
Στο διαστάσεων a\times b ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημεία S,T των AB,BC αντίστοιχα ,

ώστε : AS=\dfrac{a}{4} , BT=\dfrac{b}{4} . Βρείτε τον λόγο \dfrac{a}{b} , για τον οποίο μεγιστοποιείται η γωνία \widehat{SDT} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6741
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία 24

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 26, 2019 11:07 pm

Η συνάρτηση y = \tan \theta είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right).

Θα αντιστρέφεται και η αντίστροφή της θα είναι γνήσια αύξουσα .

Αρκεί επομένως να βρούμε πότε η \tan \theta μεγιστοποιέιται.
μεγίστη γωνία_24.png
μεγίστη γωνία_24.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Θέτω: a = bx\,\,,\,\,\widehat {SDA} = \omega \,,\widehat {BDS} = \theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {CDB} = \phi \,\,\mu \varepsilon \,\,\,\omega ,\theta ,\phi  \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right). Εύκολα έχω:

\displaystyle \boxed{\tan \theta  = \frac{{1 - \tan \omega  \cdot \tan \phi }}{{\tan \omega  + \tan \phi }} = \frac{{13x}}{{4{x^2} + 12}} = f(x)} που παρουσιάζει μέγιστο

Για \boxed{{x_0} = \frac{a}{b} = \sqrt 3 } και είναι \boxed{\tan \theta  = \frac{{13\sqrt 3 }}{{24}}}

Παρατήρηση:

Επειδή \tan \omega  \cdot \tan \phi  = \dfrac{x}{4} \cdot \dfrac{3}{{4x}} = \dfrac{3}{{16}} σταθερό , το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν

\tan \omega  = \tan \phi  \Rightarrow x = \sqrt 3 και τότε προφανώς \tan \theta  = \dfrac{{1 - \dfrac{3}{{16}}}}{{\tan \omega  + \tan \phi }} γίνεται μέγιστη .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1680
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία 24

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Σεπ 27, 2019 1:57 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 26, 2019 8:43 pm
Μέγιστη γωνία.pngΣτο διαστάσεων a\times b ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημεία S,T των AB,BC αντίστοιχα ,

ώστε : AS=\dfrac{a}{4} , BT=\dfrac{b}{4} . Βρείτε τον λόγο \dfrac{a}{b} , για τον οποίο μεγιστοποιείται η γωνία \widehat{SDT} .

Έστω \dfrac{a}{b} =x  .Από Π.Θ είναι  SD= \dfrac{b}{4}  \sqrt{16+x^2} και TD= \dfrac{a}{4}  \sqrt{ \dfrac{9}{x^2}+16 }

\dfrac{BF}{a}= \dfrac{BT}{TC}= \dfrac{1}{3}  \Rightarrow BF= \dfrac{a}{3} \Rightarrow SF= \dfrac{13a}{12} και  \triangle SEF \simeq  \triangle TCD \Rightarrow  \dfrac{SE}{SF}= \dfrac{TC}{TD} \Rightarrow  
SE= \dfrac{SF . TC}{TD}

 sin \theta = \dfrac{SE}{SD}=  \dfrac{13}{ \sqrt{ \big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265  } }

και ζητούμε για ποιο x η f(x)= \big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265 παίρνει ελάχιστη τιμή

Αλλά f(x)=\big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265  \geq 2 .  \dfrac{12}{x} . 4x +265=361 και το ίσον ισχύει όταν  \dfrac{12}{x}=4x \Rightarrow x= \sqrt{3}

Για x= \sqrt{3}  \Rightarrow  \big(sin \theta \big)= \dfrac{13}{19}
μέγιστη γωνία 24.png
μέγιστη γωνία 24.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης