Μεγιστοποίηση εμβαδού 52

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση εμβαδού 52

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Σεπ 29, 2019 12:38 pm

Μεγιστοποίηση  εμβαδού  52.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού 52.png (8.39 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
Στο τετράγωνο ABCD το τμήμα KN είναι σταθερό . Σημεία L , M ,

κινούνται επί των BC,CD , ώστε πάντα να είναι : LM\parallel KN .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου KLMN .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 52

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 29, 2019 2:02 pm

Καλημέρα σε όλους.


29-09-2019 Γεωμετρία.jpg
29-09-2019 Γεωμετρία.jpg (32.56 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Είναι L(12, a), 0<a<12 και M(b, 12), 0<b<12

με τη συνθήκη  \displaystyle LM//KN \Leftrightarrow \frac{{12 - a}}{{b - 12}} =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a - b = 12 (1).

Είναι  \displaystyle KN:\;\;x + 2y - 10 = 0 .

Είναι  \displaystyle \left( {KLMN} \right) = \frac{{\left( {KN + LM} \right) \cdot d\left( {L,\;KN} \right)}}{2} =  = \frac{{\sqrt {125}  + \sqrt {{{\left( {12 - b} \right)}^2} + {{\left( {a - 12} \right)}^2}} }}{2} \cdot \frac{{2\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}

Λόγω της (1), έχουμε

 \displaystyle \left( {KLMN} \right) = \frac{{5\sqrt 5  + \sqrt {5{{\left( {a - 12} \right)}^2}} }}{2} \cdot \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{\sqrt 5 }} =

 \displaystyle  = \left( {5 + \left| {a - 12} \right|} \right) \cdot \left| {a + 1} \right| = \left( {17 - a} \right)\left( {a + 1} \right) =  - {a^2} + 16a + 17

που έχει μέγιστο για  \displaystyle a = 8 , την τιμή  \displaystyle {\left( {KLMN} \right)_{\max }} = 81 .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 52

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 29, 2019 3:07 pm

Τα τρίγωνα MCL, KAN είναι όμοια, άρα αν CL=x τότε CM=2x.
ΜΕ-52.png
ΜΕ-52.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
\displaystyle (KLMN) = 144 - (KAN) - (NDM) - (MCL) - (LBK) =

\displaystyle 144 - 25 - 42 + 7x - {x^2} - 12 + x \Leftrightarrow (KLMN) =  - {x^2} + 8x + 65,

που παρουσιάζει για \boxed{x=4} μέγιστο ίσο με \boxed{{(KLMN)_{\max }} = 81}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης