Συνευθειακά εξ επαφής

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνευθειακά εξ επαφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 22, 2019 8:18 pm

Συνευθειακά  εξ  επαφής.png
Συνευθειακά εξ επαφής.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
Στο σχήμα είναι OB=OC . α) Εντοπίστε σημείο A μεταξύ των O και B , τέτοιο ώστε

τα ημικύκλια διαμέτρων AKB και OQC να εφάπτονται ( S λέμε το σημείο επαφής ) .

β) Έστω T η τομή των BQ , CK . Δείξτε ότι τα σημεία O,S,T είναι συνευθειακά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά εξ επαφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 23, 2019 9:48 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 22, 2019 8:18 pm
Συνευθειακά εξ επαφής.pngΣτο σχήμα είναι OB=OC . α) Εντοπίστε σημείο A μεταξύ των O και B , τέτοιο ώστε

τα ημικύκλια διαμέτρων AKB και OQC να εφάπτονται ( S λέμε το σημείο επαφής ) .

β) Έστω T η τομή των BQ , CK . Δείξτε ότι τα σημεία O,S,T είναι συνευθειακά .
Έστω R, r οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου αντίστοιχα.
Συνευθειακά εξ επαφής.png
Συνευθειακά εξ επαφής.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
α) Π. Θ στο OKQ: \displaystyle {R^2} + {(2R - r)^2} = {(R + r)^2} \Leftrightarrow 2R(2R - 3r) = 0 \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{{3r}}{2}} (1)

β) Μενέλαος στο OBQ με διατέμνουσα \displaystyle \overline {CTK}: \displaystyle \frac{{OK}}{{KB}} \cdot \frac{{BT}}{{TQ}} \cdot \frac{{QC}}{{CO}} = 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{2}{1} \cdot \frac{{BT}}{{TQ}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow BT = TQ

Με αντίστροφο Μενελάου τώρα στο QKB προκύπτει ότι τα O, S, T είναι συνευθειακά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά εξ επαφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 23, 2019 4:14 pm

Βεβαίως η λύση του φίλου του Γιώργου του Βισβίκη είναι λιτή κι ωραία .

Για λόγους πλουραλισμού ας δούμε μια με αντιστροφή και αρμονικότητα

α)
Θεωρώ την εφαπτομένη, ευθεία g, του μεγάλου ημικυκλίου που είναι παράλληλη στην AB

Στο αντίθετο ημιεπίπεδο από το του A ως προς την AB

Με πόλο το B αντιστρέφω την g με δύναμη αντιστροφής {\lambda ^2} = O{B^2} = {R^2}
Συνευθειακότητα εξ επαφής_a.png
Συνευθειακότητα εξ επαφής_a.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Προκύπτει κύκλος διερχόμενος από τον πόλο B και θα εφάπτεται του μεγάλου κύκλου και με κέντρο K πάνω στην OB. Ας είναι H η προβολή του B στην g

Επειδή : BA \cdot BH = {\lambda ^2} = {R^2} \Rightarrow 2r \cdot \dfrac{{3R}}{2} = {R^2} \Rightarrow \boxed{r = \dfrac{R}{3}}


β) Το σημείο τομής J των CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QK είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο ημικυκλίων οπότε αν το μεγάλο τέμνει την CB στο M θα είναι :QM//KB.

Θα είναι : \dfrac{{JB}}{{JM}} = \dfrac{{KB}}{{QM}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{JB}}{{BM}} = \dfrac{2}{1} \Rightarrow CB = BJ. Στο \vartriangle COJ το K είναι βαρύκεντρο και QB// = (1/2)OJ
Συνευθειακά εξ επαφής_ok.png
Συνευθειακά εξ επαφής_ok.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Στο τραπέζιο QBJO η ευθεία CK διέρχεται από τα μέσα των δύο βάσεων.

Η τετράδα \left( {M,T\backslash K,C} \right) είναι αρμονική οπότε και η τετράδα, \left( {J,S\backslash K,Q} \right) είναι αρμονική, δηλαδή η OS είναι η πολική του J ως προς τις OK,OQ

Αλλά η πολική του J ως προς τις OB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OA είναι η OT που αναγκαστικά ταυτίζεται με την OS.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1690
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνευθειακά εξ επαφής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 23, 2019 6:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 22, 2019 8:18 pm
Συνευθειακά εξ επαφής.pngΣτο σχήμα είναι OB=OC . α) Εντοπίστε σημείο A μεταξύ των O και B , τέτοιο ώστε

τα ημικύκλια διαμέτρων AKB και OQC να εφάπτονται ( S λέμε το σημείο επαφής ) .

β) Έστω T η τομή των BQ , CK . Δείξτε ότι τα σημεία O,S,T είναι συνευθειακά .

Έστω OA=OB=m και  KB=x

Ισχύει (m-x)^2=x(m+x) \Rightarrow x= \dfrac{m}{3} \Rightarrow BA= \dfrac{2m}{3}

Με Μενέλαο στο  \triangle KCO και διατέμνουσα QTB ,  
 \dfrac{KT}{TC}  .  \dfrac{QC}{QO}  .  \dfrac{QO}{BQ} =1 \Rightarrow \dfrac{KT}{TC}  . 1. 3=1 \Rightarrow\dfrac{KT}{TC} =  \dfrac{1}{3}

Αλλά και \dfrac{KS}{SE}= \dfrac{1}{3} άρα  TS//EC  \Rightarrow TS \bot CS \Rightarrow O,S,T συνευθειακά
Συνευθειακότητα εξ επαφής.png
Συνευθειακότητα εξ επαφής.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης