Ακρότατα εμβαδού τριγώνου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακρότατα εμβαδού τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 27, 2019 11:54 am

Ακρότατα  εμβαδού.png
Ακρότατα εμβαδού.png (7.02 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Στην πλευρά AB τετραγώνου ABCD βρίσκεται σημείο S , ώστε : AS=4,SB=1 .

Σημεία P , T κινούνται επί των πλευρών AD , BC αντίστοιχα , έτσι ώστε : PS \perp ST .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου SPT .

β) Προσπαθήστε να βρείτε και την μέγιστη τιμή του ίδιου εμβαδού .

Άσκηση κατάλληλη για "Θαλή" . Απαντήστε μόνον αν έχετε βρει τελικό αποτέλεσμα . :mad:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7200
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακρότατα εμβαδού τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 27, 2019 1:04 pm

Ας είναι πάνω στην πλευρά DA σημείο F με DF = SB = 1 και K το συμμετρικό του T ως προς το B.

Θέτω : TB = BK = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = u .

Από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων ASP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTS έχω : \boxed{u = \frac{4}{y}}
Ακρότατα εμβαδού.png
Ακρότατα εμβαδού.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  ST = \sqrt {1 + {y^2}}  \hfill \\ 
  SP = \frac{4}{y}\sqrt {1 + {y^2}}  \hfill \\ 
  (SPT) = \frac{1}{2}SP \cdot ST = 2\left( {y + \frac{1}{y}} \right) \geqslant 2 \cdot 2 = 4 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Συνεπώς το ελάχιστο του εμβαδού που ζητάμε είναι {\left( {SPT} \right)_{\min }} = 4 όταν το P ταυτιστεί με το F και τα σημεία P,S,K είναι σε ευθεία.

Όταν y = BC = 5\,\, θα είναι u = \dfrac{4}{5} και \boxed{{{\left( {SPT} \right)}_{\max }} = 2\left( {5 + \frac{1}{5}} \right) = \frac{{52}}{5}}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Οκτ 27, 2019 1:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακρότατα εμβαδού τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 28, 2019 10:15 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 27, 2019 11:54 am
Ακρότατα εμβαδού.pngΣτην πλευρά AB τετραγώνου ABCD βρίσκεται σημείο S , ώστε : AS=4,SB=1 .

Σημεία P , T κινούνται επί των πλευρών AD , BC αντίστοιχα , έτσι ώστε : PS \perp ST .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου SPT .
Αλλιώς για το α)
Ελάχιστο εμβαδόν τριγώνου.png
Ελάχιστο εμβαδόν τριγώνου.png (7.94 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων ASP, BST προκύπτει ότι \boxed{xy=4}

\displaystyle (SPT) = (ABTP) - (ASB) - (BST) = \frac{{x + y}}{2} \cdot 5 - 2x - \frac{y}{2} = \frac{x}{2} + 2y

Επειδή όμως \displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2y = 4, το άθροισμα \displaystyle \frac{x}{2} + 2y γίνεται ελάχιστο όταν \displaystyle \frac{x}{2} = 2y = 2. Άρα, \boxed{{(SPT)_{\min }} = 4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης