Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm

Γωνία  υπερισοσκελούς.png
Γωνία υπερισοσκελούς.png (5.78 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές
Το τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 01, 2019 9:37 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .
Με ταλαιπώρησε πολύ. Πιθανότατα ο θεματοδότης έχει ευκολότερη λύση.
Γωνία Υπερ-τραπεζίου.png
Γωνία Υπερ-τραπεζίου.png (9.13 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
Από θ. Πτολεμαίου στο ισοσκελές τραπέζιο, \displaystyle {d^2} = {a^2} + ab \Rightarrow \frac{{a{b^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = a + b \Leftrightarrow \boxed{{(b - a)^2}(b + a) = a{b^2}} (1)

Αλλά, \displaystyle \cos \theta  = \frac{{b - a}}{{2a}} \Leftrightarrow b = a(1 + 2\cos \theta ) και από την (1) καταλήγω στην εξίσωση:

\displaystyle 8{\cos ^3}\theta  + 4{\cos ^2}\theta  - 4\cos \theta  = 1 \Leftrightarrow 2\left( {4{{\cos }^3}\theta  - 3\cos \theta } \right) + 2(1 + \cos 2\theta ) + 2\cos \theta  = 1 \Leftrightarrow

\displaystyle \cos \theta  + \cos 2\theta  + \cos 3\theta  =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2\theta  \cdot \sin \frac{{3\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}} =  - 1 \Leftrightarrow 2\cos 2\theta  \cdot \sin \frac{{3\theta }}{2} = \sin \left( { - \frac{\theta }{2}} \right)

\displaystyle \sin \frac{{7\theta }}{2} = 0 = \sin \pi  \Leftrightarrow \boxed{\theta  = \frac{{2\pi }}{7}}


Εξηγώ τις τελίτσες (...)
\displaystyle \cos \theta  + \cos 2\theta  + \cos 3\theta  = 2\cos 2\theta \cos \theta  + \cos 2\theta  = \cos 2\theta \left( {4{{\cos }^2}\frac{\theta }{2} - 1} \right) =

\displaystyle \cos 2\theta \left( {3 - 4{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}} \right) = \cos 2\theta  \cdot \frac{{3\sin \frac{\theta }{2} - 4{{\sin }^3}\frac{\theta }{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}} = \frac{{\cos 2\theta  \cdot \sin \frac{{3\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Νοέμ 01, 2019 9:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 01, 2019 9:44 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:37 am
KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .
Με ταλαιπώρησε πολύ. Πιθανότατα ο θεματοδότης έχει ευκολότερη λύση.
Αμφιβάλλω :)

[Εγώ προσπάθησα με b=ra ... και φυσικά δεν είδα φως :) ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 01, 2019 3:36 pm

Έστω K το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου .

Αν \widehat {ACB} = \omega θα είναι : \widehat {AKB} = 2\omega \,\,,\,\,\widehat \xi  = 90^\circ  - 3\omega και από το τρίγωνο έχω : \boxed{\theta  = 2\omega }

Επειδή : {d^2} = {a^2} + ad αν θέσω : b = ax και αφού \boxed{d = \frac{{ab}}{{b - a}}} έχω προς λύση

Την εξίσωση : \boxed{{x^3} - 2{x^2} - x + 1 = 0}\,\,\,(1) με τρεις πραγματικές ρίζες μια απ’ αυτές όμως

η \boxed{x = \dfrac{{2\sqrt 7 \sin \left( {\dfrac{{a\tan \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{9}} \right)}}{3} + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{3} + \dfrac{2}{3}} δεκτή \left( {x > 1} \right)
Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png
Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές
Το τραπέζιο μπορεί να κατασκευαστεί ( όχι βεβαίως γεωμετρικά )

Έτσι αν AT το ύψος του \vartriangle ABC θα είναι \boxed{\cos \theta  = \dfrac{{BT}}{{AB}} = \dfrac{{x - 1}}{2}}.

Αν θέσω \boxed{\dfrac{{x - 1}}{2} = u = \cos \theta } έχω από την (1) τη τριγωνομετρική εξίσωση:

8{\cos ^3}\theta  + 4{\cos ^2}\vartheta  - 4\cos \theta  - 1 = 0 .

Τα υπόλοιπα τα έκανε άριστα ο φίλτατος Γιώργος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Νοέμ 01, 2019 5:47 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .

Με  BZ=a \Rightarrow DZ//AB \Rightarrow  \dfrac{CE}{b-a}= \dfrac{d}{b}= \dfrac{a}{b-a}  \Rightarrow CE=a

Έτσι, HC=CA \Rightarrow  \dfrac{7 \theta }{2}= \pi  \Rightarrow  \theta = \dfrac{2 \pi }{7}
Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png
Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 01, 2019 5:55 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Παρ Νοέμ 01, 2019 5:47 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .

Με  BZ=a \Rightarrow DZ//AB \Rightarrow  \dfrac{CE}{b-a}= \dfrac{d}{b}= \dfrac{a}{b-a}  \Rightarrow CE=a

Έτσι, HC=CA \Rightarrow  \dfrac{7 \theta }{2}= \pi  \Rightarrow  \theta = \dfrac{2 \pi }{7}

Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png
Κίνηση Ματ! :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 01, 2019 8:17 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Παρ Νοέμ 01, 2019 5:47 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .

Με  BZ=a \Rightarrow DZ//AB \Rightarrow  \dfrac{CE}{b-a}= \dfrac{d}{b}= \dfrac{a}{b-a}  \Rightarrow CE=a

Έτσι, HC=CA \Rightarrow  \dfrac{7 \theta }{2}= \pi  \Rightarrow  \theta = \dfrac{2 \pi }{7}

Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου.png
Εντυπωσιακή λύση !! Μιχάλη :clap2:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 02, 2019 8:42 am

επτάγωνο.png
επτάγωνο.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Η ιστορία της άσκησης : Το τραπέζιο είναι τμήμα κανονικού επταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (O) .

Έστω \theta=2\phi . Είναι : \sin\phi=\dfrac{a}{2r} , δηλαδή : a=2r\sin\phi . Όμοια : d=2r\sin2\phi , b=2r\sin3\phi .

Η γνωστή σχέση : \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{b} , γίνεται : d=\dfrac{ba}{b-a} , την οποία χρησιμοποίησα στην εκφώνηση .

Αυτή , αξιοποιώντας τα παραπάνω , γίνεται : \sin2\phi=\dfrac{\sin3\phi\sin\phi}{\sin3\phi-\sin\phi} και από εδώ με σκέψεις

παρόμοιες με του Γιώργου , προκύπτει (δοκιμάστε το ! ) , ότι : \phi=\dfrac{\pi}{7} , συνεπώς : \theta=\dfrac{2\pi}{7} .

Αλλά ήρθε η εκπληκτική λύση του Μιχάλη να ανεβάσει την άσκηση σε άλλο επίπεδο :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Νοέμ 02, 2019 11:32 am

Καλημέρα σε όλους! Ένα ακόμη :clap: στον Μιχάλη για την αφοπλιστική του λύση,
αλλά και την αφθονία κομψών λύσεων που μας προσφέρει σε διάφορα θέματα!
Ας δούμε και την "συνεργασία" των δύο Νόμων με παλαιότερη πρόταση.
Υπερισοσκελές ..KARKAR.PNG
Υπερισοσκελές ..KARKAR.PNG (6.36 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Έχουμε d=\dfrac{ba}{b-a}\Leftrightarrow bd=a\left ( b+d \right )...\left ( 1 \right ). Ο Ν. Ημιτόνων στο ABC δίνει \dfrac{sin2\omega }{sin\omega }=\dfrac{d}{a}\Rightarrow 2cos\omega =\dfrac{d}{a}..\left ( 2 \right )

ενώ ο Ν. Συνημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο δίνει a^{2}=b^{2}+d^{2}-2bdcos\omega , που λόγω των (1) και (2) γίνεται

a^{2}=b^{2}+d^{2}-a\left ( b+d \right )\dfrac{d}{a}\Leftrightarrow \boxed { b^{2}=a^{2}+bd}.

Από την τελευταία σχέση (δείτε την πρόταση στο θέμα Πέντε παρά..κάτι ) παίρνουμε \widehat{BAC}=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\omega }{2}.

Έτσι \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi \Rightarrow \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\omega }{2} +2\omega +\omega =\pi \Rightarrow \omega =\dfrac{\pi }{7} συνεπώς \widehat{B}=2\omega =\dfrac{2\pi }{7}. Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 02, 2019 11:38 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 02, 2019 11:32 am
Καλημέρα σε όλους! Ένα ακόμη :clap: στον Μιχάλη για την αφοπλιστική του λύση,
αλλά και την αφθονία κομψών λύσεων που μας προσφέρει σε διάφορα θέματα!
Ας δούμε και την "συνεργασία" των δύο Νόμων με παλαιότερη πρόταση.
Υπερισοσκελές ..KARKAR.PNG
Έχουμε d=\dfrac{ba}{b-a}\Leftrightarrow bd=a\left ( b+d \right )...\left ( 1 \right ). Ο Ν. Ημιτόνων στο ABC δίνει \dfrac{sin2\omega }{sin\omega }=\dfrac{d}{a}\Rightarrow 2cos\omega =\dfrac{d}{a}..\left ( 2 \right )

ενώ ο Ν. Συνημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο δίνει a^{2}=b^{2}+d^{2}-2bdcos\omega , που λόγω των (1) και (2) γίνεται

a^{2}=b^{2}+d^{2}-a\left ( b+d \right )\dfrac{d}{a}\Leftrightarrow \boxed { b^{2}=a^{2}+bd}.

Από την τελευταία σχέση (δείτε την πρόταση στο θέμα Πέντε παρά..κάτι ) παίρνουμε \widehat{BAC}=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\omega }{2}.

Έτσι \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi \Rightarrow \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\omega }{2} +2\omega +\omega =\pi \Rightarrow \omega =\dfrac{\pi }{7} συνεπώς \widehat{B}=2\omega =\dfrac{2\pi }{7}. Φιλικά , Γιώργος.
Πολύ ωραία και αυτή (αποφεύγοντας τη βαριά τριγωνομετρία) :clap2:


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Γωνία υπερισοσκελούς τραπεζίου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:07 am

gbaloglou έγραψε:
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:44 am
george visvikis έγραψε:
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:37 am
KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 1:55 pm
Γωνία υπερισοσκελούς.pngΤο τραπέζιο ABCD έχει μεγάλη βάση BC=b και μικρή AD=a , ίση με τις μη παράλληλες

πλευρές του . Η διαγώνιος του AC δίνεται από την σχέση : d =\dfrac{ba}{b-a} . Υπολογίστε τη γωνία \hat{B} .
Με ταλαιπώρησε πολύ. Πιθανότατα ο θεματοδότης έχει ευκολότερη λύση.
Αμφιβάλλω :)
"Όσοι πιστεύουν ότι κάτι δεν μπορεί να γίνει ... ας μην στέκονται εμπόδιο σε όσους πιστεύουν ότι μπορεί να γίνει." [Κινεζική παροιμία]
[Εγώ προσπάθησα με b=ra ... και φυσικά δεν είδα φως :) ]
Ας μην καταφεύγουμε στην Άλγεβρα ... όταν υπάρχει τόση Γεωμετρία στα πόδια μας!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης