Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Είδα την ακόλουθη άσκηση στο Pillow Problems του Charles Dodgson, γνωστότερου με το ψευδώνυμο Lewis Carroll με το οποίο έγραψε το βιβλίο του Αλίκη στην χώρα των Θαυμάτων.
Αν πρώτοι προς αλλήλους φυσικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε ο να διαιρεί τον .
Αναρτώ το θέμα γιατί βρήκα πολύ κομψή την λύση του ίδιου του Dodgson. Η δική μου λύση, την οποία έκανα πριν διαβάσω την δική του, είναι σε άλλο μήκος κύματος (απλή αλλά στάνταρ, θα έλεγα). Επειδή μου άρεσε η λύση που είδα, θέλω να την μοιραστώ μαζί σας. Αναμένω λοιπόν τουλάχιστον δύο διαφορετικές αντιμετωπίσεις στο πρόβλημα.
Αν πρώτοι προς αλλήλους φυσικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε ο να διαιρεί τον .
Αναρτώ το θέμα γιατί βρήκα πολύ κομψή την λύση του ίδιου του Dodgson. Η δική μου λύση, την οποία έκανα πριν διαβάσω την δική του, είναι σε άλλο μήκος κύματος (απλή αλλά στάνταρ, θα έλεγα). Επειδή μου άρεσε η λύση που είδα, θέλω να την μοιραστώ μαζί σας. Αναμένω λοιπόν τουλάχιστον δύο διαφορετικές αντιμετωπίσεις στο πρόβλημα.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Έστω ότι δεν υπάρχει τέτοιος φυσικός , δηλαδή έχω για κάθε .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 07, 2019 11:28 amΕίδα την ακόλουθη άσκηση στο Pillow Problems του Charles Dodgson, γνωστότερου με το ψευδώνυμο Lewis Carroll με το οποίο έγραψε το βιβλίο του Αλίκη στην χώρα των Θαυμάτων.
Αν πρώτοι προς αλλήλους φυσικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε ο να διαιρεί τον .
Αναρτώ το θέμα γιατί βρήκα πολύ κομψή την λύση του ίδιου του Dodgson. Η δική μου λύση, την οποία έκανα πριν διαβάσω την δική του, είναι σε άλλο μήκος κύματος (απλή αλλά στάνταρ, θα έλεγα). Επειδή μου άρεσε η λύση που είδα, θέλω να την μοιραστώ μαζί σας. Αναμένω λοιπόν τουλάχιστον δύο διαφορετικές αντιμετωπίσεις στο πρόβλημα.
Οι άπειροι όμως αριθμοί της μορφής μπορούν να αφήνουν πεπερασμένο αριθμό υπολοίπων στη διαίρεση με το , συγκεκριμένα τα .
Οπότε, υπάρχουν φυσικοί, ώστε και .
Άρα, , άρα , και αφού , έχω , άτοπο από την αρχική μας υπόθεση ότι για κάθε .
Άρα, καταλήξαμε σε αντίφαση, οπότε η αρχική υπόθεση ήταν λανθασμένη, συνεπώς υπάρχει φυσικός ώστε ό.έ.δ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Ορέστη, αυτή είναι και η δική μου λύση. Του Dodgson είναι τελείως διαφορετική, και μου τράβηξε το ενδιαφέρον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Νομίζω πως έχετε απόλυτο δίκιο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 07, 2019 1:12 pmΔεν είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Euler;
Υ.γ: η λύση του Ορέστη είναι υπέροχη!!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Η λύση του Dodgson είναι στοιχειωδέστατη και μικρή. Απλά μία ωραία ιδέα.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Αν η ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες, τότε επιλέγουμε , όπου η συνάρτηση του Euler και έχουμε το ζητούμενο καθώς κι έτσι . Όμοια για κάθε κι έτσι .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο . (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Γράφω την λύση του Dodgson, που μου άρεσε.
Την κάνω σε δύο βήματα (όπως ο ίδιος) για λόγους διδακτικούς, αν και δεν είναι απαραίτητα και τα δύο αλλά μπορούμε να πάμε απευθείας στο δεύτερο τμήμα της λύσης του. Επίσης θα είμαι λίγο αναλυτικός επειδή μας διαβάζουν μαθητές.
Έστω για ευκολία ότι ο ένας αριθμός είναι ο (η γενίκευση, μετά). Γράφουμε τον , όπου , στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, οπότε υπάρχει ένα αρχικό κομμάτι μήκους (μπορεί να είναι ) και ένα περιοδικό κομμάτι μήκους τέτοια ώστε . Προσοχή, το ανάπτυγμα είναι σίγουρα άπειρο περιοδικό - δεν τελειώνει - ακριβώς γιατί ο δεν περιέχει ή ως πρώτο παράγοντα.
Προσθέτουμε τώρα το περιοδικό κομμάτι ως γεωμετρική πρόοδο με λόγο . Θα βρούμε
και άρα, διώχνοντας τους παρονομαστές, θα βρούμε
Όμως το διαιρεί το δεξί μέλος και επειδή είναι πρώτο προς το , και άρα προς το , έπεται ότι . Τελειώσαμε! Αυτό είναι το αποδεικτέο.
Γενικά τώρα. Κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά αλλά αντί να γράψουμε το στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, το γράφουμε ως προς βάση το . Ρουά ματ.
Την κάνω σε δύο βήματα (όπως ο ίδιος) για λόγους διδακτικούς, αν και δεν είναι απαραίτητα και τα δύο αλλά μπορούμε να πάμε απευθείας στο δεύτερο τμήμα της λύσης του. Επίσης θα είμαι λίγο αναλυτικός επειδή μας διαβάζουν μαθητές.
Έστω για ευκολία ότι ο ένας αριθμός είναι ο (η γενίκευση, μετά). Γράφουμε τον , όπου , στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, οπότε υπάρχει ένα αρχικό κομμάτι μήκους (μπορεί να είναι ) και ένα περιοδικό κομμάτι μήκους τέτοια ώστε . Προσοχή, το ανάπτυγμα είναι σίγουρα άπειρο περιοδικό - δεν τελειώνει - ακριβώς γιατί ο δεν περιέχει ή ως πρώτο παράγοντα.
Προσθέτουμε τώρα το περιοδικό κομμάτι ως γεωμετρική πρόοδο με λόγο . Θα βρούμε
και άρα, διώχνοντας τους παρονομαστές, θα βρούμε
Όμως το διαιρεί το δεξί μέλος και επειδή είναι πρώτο προς το , και άρα προς το , έπεται ότι . Τελειώσαμε! Αυτό είναι το αποδεικτέο.
Γενικά τώρα. Κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά αλλά αντί να γράψουμε το στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, το γράφουμε ως προς βάση το . Ρουά ματ.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Σωστά Δημήτρη! Έκανα τα εύκολα δύσκολα και δεν πρόσεξα αυτό που είπε ο Σταύρος παραπάνω! Ευχαριστώ!
κ. Μιχάλη πολύ όμορφη η λύση που παραθέσατε παραπάνω!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες