Μεγιστοποίηση εμβαδού 29

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση εμβαδού 29

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 16, 2019 7:19 pm

Μεγιστοποίηση εμβαδού.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερού μήκους d τις ίσες πλευρές του AB και AC , ενώ η βάση του

BC μεταβάλλεται . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα σημεία S , P , T .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SPT και την \tan\hat{B} , όταν αυτό επιτευχθεί .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 29

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 17, 2019 11:31 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 16, 2019 7:19 pm
Μεγιστοποίηση εμβαδού.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερού μήκους d τις ίσες πλευρές του AB και AC , ενώ η βάση του

BC μεταβάλλεται . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα σημεία S , P , T .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SPT και την \tan\hat{B} , όταν αυτό επιτευχθεί .
Έστω BS=SC=x. Είναι, \displaystyle T\widehat SP = 180^\circ  - (T\widehat SB + P\widehat SC) = 180^\circ  - 2T\widehat SB = \widehat B
Μεγιστοποίηση εμβαδού.29.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού.29.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στο BTS: \displaystyle T{S^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\cos B = \frac{{2{x^2}(d - x)}}{d}

\displaystyle (SPT) = \frac{1}{2}T{S^2}\sin B \Leftrightarrow \boxed{(SPT) = \frac{{{x^2}(d - x)}}{{{d^2}}}\sqrt {{d^2} - {x^2}}} όπου με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω για \boxed{x = d\left( {\frac{{\sqrt {33}  - 1}}{8}} \right)} μέγιστη τιμή \boxed{ {(SPT)_{\max }} = \frac{{(93 - 13\sqrt {33} )\sqrt {\dfrac{{15 + \sqrt {33} }}{2}} }}{{512}} \cdot {d^2}}

\displaystyle \tan B = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}B}} - 1}  = \sqrt {\frac{{64}}{{34 - 2\sqrt {33} }} - 1}  \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \boxed{ \tan B = \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {33} }}{8}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης