Η εφαπτομένη της άλλης

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η εφαπτομένη της άλλης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 19, 2019 7:59 pm

Η  εφαπτομένη της  άλλης.png
Η εφαπτομένη της άλλης.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές με AB=AC και μεταβλητή την γωνία \hat{A}=\omega>60^0 .

Η γωνία \widehat{MBS}=\theta , σχηματίζεται από την διάμεσο BM και την διχοτόμο BS .

Βρείτε την \tan\omega , την στιγμή που η \theta μεγιστοποιείται . Καλό κουράγιο !

Ο περιορισμός : \omega >60^0 , προστέθηκε με υπόδειξη Γ. Βισβίκη .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η εφαπτομένη της άλλης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 24, 2019 7:52 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 19, 2019 7:59 pm
Η εφαπτομένη της άλλης.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές με AB=AC και μεταβλητή την γωνία \hat{A}=\omega>60^0 .

Η γωνία \widehat{MBS}=\theta , σχηματίζεται από την διάμεσο BM και την διχοτόμο BS .

Βρείτε την \tan\omega , την στιγμή που η \theta μεγιστοποιείται . Καλό κουράγιο !

Ο περιορισμός : \omega >60^0 , προστέθηκε με υπόδειξη Γ. Βισβίκη .
Προεργασία: \displaystyle SM = AM - AS = \frac{b}{2} - \frac{{{b^2}}}{{a + b}} \Leftrightarrow \boxed{SM = \frac{{b(a - b)}}{{2(a + b)}}} Από τους τύπους διχοτόμου και

διαμέσου παίρνω: \boxed{BS = \frac{a}{{a + b}}\sqrt {b(a + 2b)}}, \boxed{BM = \frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{2}} Επίσης είναι, \boxed{h = b\sin \omega}
Η εφαπτομένη της άλλης.png
Η εφαπτομένη της άλλης.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές
\displaystyle h \cdot SM = 2(BSM) = BS \cdot BM\sin \theta και αντικαθιστώντας τους παραπάνω τύπους:

\displaystyle {b^2}(a - b)\sin \omega  = a\sqrt {b(a + 2b)({b^2} + 2{a^2})} \sin \theta. Αλλά, \displaystyle a = 2b\sin \frac{\omega }{2}


κι επειδή \displaystyle \sin \omega  = 2\sin \frac{\omega }{2}\cos \frac{\omega }{2}, αν θέσω \boxed{\sin \frac{\omega }{2} = x} θα είναι \displaystyle \cos \frac{\omega }{2} = \sqrt {1 - {x^2}} και τελικά:

\displaystyle \sin \theta  = \frac{{(2x - 1)\sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {2(x + 1)(8{x^2} + 1)} }}. Επειδή η \theta είναι οξεία, μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται και το \sin \theta.

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι \displaystyle {(\sin \theta )_{\max }} = \frac{1}{8}\sqrt {32 - 10\sqrt {10} } , όταν \displaystyle x = \sin \frac{\omega }{2} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}


Άρα, \displaystyle \cos \frac{\omega }{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \tan \dfrac{\omega}{2}= \sqrt {\frac{5}{3}}  \Rightarrow \tan \omega  = \frac{{2\sqrt {\frac{5}{3}} }}{{1 - \frac{5}{3}}} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \omega  =  - \sqrt {15}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης