Τόπος από παραπληρωματικές

#1

: Τόπος από παραπληρωματικές.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία $A\widehat MC+ O\widehat MB=180^\circ.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 7:32 pm Τόπος από παραπληρωματικές.png
Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία $A\widehat MC+ O\widehat MB=180^\circ.$

: 176.PNG (36.73 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Καλησπέρα!

Έστω

σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και

το συμμετρικό του ως προς τον xx'

.
Έστω επίσης $N\equiv AS\cap TO,L\equiv TB\cap SC$
Το τετράπλευρο TNSL

πρέπει να είναι εγγράψιμο σε κύκλο του οποίου το κέντρο ανήκει στον xx'

.Έστω ότι αυτός ο κύκλος τέμνει τον xx'

στα

.Είναι $\angle ATQ=\angle ETQ=\angle QTN$ αφού τα E,N

είναι συμμετρικά ως προς τον xx'

.Όμοια

διχοτόμος της $\angle BTC$ .Επειδή όμως

διάμετρος οι τετράδες (A,B/Q,F),(O,C/Q,F)

είναι αρμονικές που σημαίνει ότι ο κύκλος είναι ο κοινός Απολλώνιος για τα AO,BC

ο οποίος είναι και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.Έστω Q(x_1,0)

,

.Έχουμε:
$\dfrac{AQ}{QO}=\dfrac{AF}{OF}\Leftrightarrow \dfrac{x_1+2}{-x_1}=\dfrac{x_2+2}{x_2}\Leftrightarrow x_2=\dfrac{-x_1}{x_1+1}$
Όμοια $\dfrac{QB}{QC}=\dfrac{FB}{FC}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow x_2=\dfrac{13x_1-60}{2x_1-13}$

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε $x_1=2-2\sqrt{2},x_2=2+2\sqrt{2}$ δηλαδή ο κύκλος έχει κέντρο με τετμημένη $\dfrac{x_1+x_2}{2}=2$ και ακτίνα $r=2\sqrt{2}$ .
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος $\left ( x-2 \right )^2+y^2=8$

Τόπος από παραπληρωματικές

Τόπος από παραπληρωματικές

Re: Τόπος από παραπληρωματικές

Μέλη σε σύνδεση