Ώρα εφαπτομένης 12

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 30.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Στην πλευρά AB=a

, τετραγώνου ABCD

, κινείται σημείο

και έστω

.

Φέρω $AT\perp DS$ . Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{DTC} )$ . Αν a=1

, δείξτε ότι : $\tan\theta >e^x$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 10:31 am
Ώρα εφαπτομένης 30.pngΣτην πλευρά , τετραγώνου , κινείται σημείο και έστω .

Φέρω $AT\perp DS$ . Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{DTC} )$ . Αν , δείξτε ότι : $\tan\theta >e^x$

: Ώρα εφαπτομένης.12.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

$\displaystyle \frac{{MS}}{a} = \frac{{TS}}{{TD}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow MS = \frac{{{x^2}}}{a} \Rightarrow MB = \frac{{{x^2}}}{a} + a - x = \frac{{{x^2} + {a^2} - ax}}{a}$

$\displaystyle \theta = \omega + \varphi \Rightarrow \tan \theta = \frac{{\tan \omega + \tan \varphi }}{{1 - \tan \omega \tan \varphi }} = \frac{{\frac{x}{a} + \frac{{{x^2} + {a^2} - ax}}{{{a^2}}}}}{{1 - \frac{{x({x^2} + {a^2} - ax)}}{{{a^3}}}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{a{x^2} + {a^3}}}{{{a^3} - {x^3} - {a^2}x + a{x^2}}} = \frac{{a({x^2} + {a^2})}}{{a({x^2} + {a^2}) - x({a^2} + {x^2})}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \dfrac{a}{{a - x}}}$

Για a=1

είναι $\tan \theta = \dfrac{1}{1 - x}.$ Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = {e^x}(1-x) - 1,0 \le x < 1$

$\displaystyle f'(x) = - x{e^x} < 0,$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε $\displaystyle f(0) \ge f(x) \Leftrightarrow 0 \ge {e^x}(1 - x) - 1$

και για x>0

είναι $\displaystyle \frac{1}{{1 - x}} > {e^x} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta > {e^x}}$

#3

: Ωρα εφαπτομένης 12.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Αν η

συναντήσει την

στο

ως γνωστό $\vartriangle ADS = \vartriangle BAE \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BE = AS = x \hfill \\ EC = a - x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή το τετράπλευρο DTEC

είναι εγγράψιμο , $\boxed{\tan \theta = \dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{a}{{a - x}}}$

Για το β ερώτημα τα είπε πολύ ωραία ο Γιώργος .

Εναλλακτικά

Είναι επέκταση της θεωρίας ότι : ${e^x} \geqslant x + 1\,\,,x \in \mathbb{R}$ . Το «ίσον» ισχύει για x = 0

.

Έτσι ${e^{ - x}} > 1 - x\,\,\,,x \ne 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x}}} > 1 - x\,\,\,\,(1)$ και αν $x \in \left( {0,1} \right)$ θα είναι 1 - x > 0

και η

δίδει :

$\boxed{{e^x} < \frac{1}{{1 - x}} \Rightarrow \tan \theta > {e^x}}$

Ώρα εφαπτομένης 12

Ώρα εφαπτομένης 12

Re: Ώρα εφαπτομένης 12

Re: Ώρα εφαπτομένης 12

Μέλη σε σύνδεση