Συνθήκη παραλληλίας 2

#1

Με αφορμή αυτήν

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

είναι

(

έγκεντρο και ορθόκεντρο αντίστοιχα).

Να δείξετε ότι $\displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 2\cos B\cos C$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 13, 2020 2:02 pm
Με αφορμή αυτήν

Σε οξυγώνιο τρίγωνο είναι ( έγκεντρο και ορθόκεντρο αντίστοιχα).

Να δείξετε ότι $\displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 2\cos B\cos C$

Καλησπέρα!

: 226.PNG (23.88 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

Έστω $D\equiv AH\cap BC,L\equiv BH\cap AC,K\equiv AI\cap BC$

Είναι $\Delta BHD\sim \Delta BLC\Leftrightarrow DH=\dfrac{LC\cdot BD}{BL}=\dfrac{a\cos \angle C\cdot c\cos\angle B}{a\sin\angle C}=\dfrac{c}{\sin\angle C}\cos\angle B\cos\angle C$
Όμως $\dfrac{c}{\sin \angle C}=2R$ οπότε αφού $HI\parallel BC\Leftrightarrow HD=r$ είναι:
$r=2R\cos\angle B\cos\angle C\Leftrightarrow \dfrac{r}{R}=2\cos\angle B\cos\angle C$
Το ζητούμενο είναι τώρα άμεσο από την σχέση $\cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C=1+\dfrac{r}{R}$

#3

Πρώτα-πρώτα τα θερμά μου συγχαρητήρια, στον νεαρό Φωτιάδη. για την πρόκριση στον διαγωνισμό "Αρχιμήδης"

Σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει : $\boxed{\cos A + \cos B + \cos C - 1 = \frac{r}{R}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Όπου R,r

οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αυτού.

Επειδή $\widehat {{A_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{C_{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ έχω :

: Συνθήκη παραλληλίας 2.png (30.31 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{{OM}}{R} \hfill \\ \cos \omega = \frac{{TE}}{{BT}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos A = \frac{{AH}}{{2R}} \hfill \\ \cos C = \frac{{HE}}{{BH}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AH = 2R\cos A \hfill \\ BH = 2R\cos B \hfill \\ \cos C = \frac{r}{{2R\cos B}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{r = 2R\cos B\cos C\,\,\left( 2 \right)}$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω το ζητούμενο .

Συνθήκη παραλληλίας 2

Συνθήκη παραλληλίας 2

Re: Συνθήκη παραλληλίας 2

Re: Συνθήκη παραλληλίας 2

Μέλη σε σύνδεση