Το πιο μικρό

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το πιο μικρό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 20, 2020 9:49 am

Το  πιο  μικρό.png
Το πιο μικρό.png (5.12 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , είναι : βάση BC=4 και ύψος AD=6 , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Επί των σκελών AB, AC , θεωρούμε σημεία S , T , ώστε : CT=2BS . Υπολογίστε το : ST_{min}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το πιο μικρό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 20, 2020 10:54 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 9:49 am
Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , είναι : βάση BC=4 και ύψος AD=6 , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Επί των σκελών AB, AC , θεωρούμε σημεία S , T , ώστε : CT=2BS . Υπολογίστε το : ST_{min}
Το πιο μικρό.Κ.png
Το πιο μικρό.Κ.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Πρώτα βρίσκω τις ίσες πλευρές του ισοσκελούς που είναι \displaystyle b = 2\sqrt {10} . Στη συνέχεια με νόμο συνημιτόνου, \displaystyle \cos A = \frac{4}{5}

και τέλος με τον ίδιο νόμο στο AST καταλήγω στη σχέση: \displaystyle S{T^2} = \frac{1}{5}(9{x^2} - 12x\sqrt {10}  + 80), που ως τριώνυμο

έχει για \boxed{ x = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}} ελάχιστη τιμή ST^2=8, δηλαδή \boxed {(ST)_{\min } = 2\sqrt 2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το πιο μικρό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 20, 2020 11:55 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 9:49 am
Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , είναι : βάση BC=4 και ύψος AD=6 , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Επί των σκελών AB, AC , θεωρούμε σημεία S , T , ώστε : CT=2BS . Υπολογίστε το : ST_{min}
Το πιο μικρό _ανάλυση.png
Το πιο μικρό _ανάλυση.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Φέρνω παράλληλη από το T στην AB που τέμνει την BC στο E.

Το \vartriangle TEC είναι ισοσκελές και αν D το μέσο του TE, είναι (Θ κεντρικής δέσμης)

AM = MB και BD// = ST . Το ST παίρνει τη μικρότερη τιμή αν \widehat \theta  = 90^\circ .

Τότε: AC = 2\sqrt {10} \,\,\,,\,\,CM = 3\sqrt 2 ( από α Θ. διαμέσων ) και αφού

2\left( {MBC} \right) = 4 \cdot 3 = 3\sqrt 2 y \Rightarrow {y_{\min }} = 2\sqrt 2
Το πιο μικρό _απάντηση.png
Το πιο μικρό _απάντηση.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το πιο μικρό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 20, 2020 1:29 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 9:49 am
Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , είναι : βάση BC=4 και ύψος AD=6 , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Επί των σκελών AB, AC , θεωρούμε σημεία S , T , ώστε : CT=2BS . Υπολογίστε το : ST_{min}

Με Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABC και τέμνουσα

LST,\dfrac{AS}{SB}.\dfrac{LB}{LB+4}. \dfrac{TC}{AT}=1      

 \Rightarrow LB=\dfrac{4(\sqrt{10}-x)}{\sqrt{10}},(1),

Είναι AC=AB=2\sqrt{10},AT=2\sqrt{10}-2x.


Ομοίως στο τρίγωνο LTC με τέμνουσα

ASB,

           

           \dfrac{LS}{ST}.\dfrac{AT}{TC}.\dfrac{BC}  {LB}=1

         \Rightarrow LS=ST,(2)

Από το τρίγωνο LTC, με νόμο συνημιτόνων

ST^{2}=\dfrac{9}{5}.x^{2}-\dfrac{12\sqrt{10}x}{5}+16=f(x)

Και απο τα γνωστά με τριώνυμο η παραγώγους είναι

ST_{min}=2\sqrt{2},x=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}
Συνημμένα
Το πιο μικρό.png
Το πιο μικρό.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το πιο μικρό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Μαρ 20, 2020 5:35 pm

Καλησπέρα σε όλους.
20-03-2020 Γεωμετρία.png
20-03-2020 Γεωμετρία.png (22.82 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ADC είναι  \displaystyle AC = 2\sqrt {10} .

Φέρνω SR//BC. Από την ομοιότητα ASR, ABC είναι  \displaystyle \frac{{SR}}{4} = \frac{{2\sqrt {10}  - x}}{{2\sqrt {10} }} \Leftrightarrow SR = \frac{{20 - x\sqrt {10} }}{5} .

Επίσης, στο ADC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{2}{{2\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} , οπότε στο STR είναι
 \displaystyle S{T^2} = S{R^2} + T{R^2} - 2ST \cdot TR \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{9{x^2} - 12\sqrt {10} x + 80}}{5}

Έχει μέγιστο όταν  \displaystyle x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{3} , οπότε  \displaystyle S{T_{\max }} = 2\sqrt 2 .

Προεκτάσεις του θέματος:


Παρατηρούμε ότι τα T, R τριχοτομούν την AC και ότι στο τραπέζιο PSRT με μεγάλη βάση διπλάσια της μικρής, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα στο K.

Πράγματι, το K είναι το βαρύκεντρο του ASR, οπότε  \displaystyle SK = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} .

Επίσης, είναι  \displaystyle SR = \frac{8}{3} . Με αντίστροφο Πυθαγορείου, επειδή  \displaystyle S{K^2} + K{R^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{64}}{9} = S{R^2} , θα είναι  \displaystyle \widehat {SKR} = 90^\circ .


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Το πιο μικρό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Μαρ 20, 2020 11:08 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 9:49 am
Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , είναι : βάση BC=4 και ύψος AD=6 , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) .

Επί των σκελών AB, AC , θεωρούμε σημεία S , T , ώστε : CT=2BS . Υπολογίστε το : ST_{min}
Το πιο μικρό.png
Το πιο μικρό.png (24.71 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

Είναι ST^2=S’T’_1^2=S’T’^2+T’T’_1^2=(4-3x)^2+y^2=16+9x^2-24x+y^2 \,\, (1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων SBS’, ABD (D μέσο του BC) έχουμε \displaystyle \frac{y}{x}=\frac{6}{2}=3 \rightarrow y=3x \, \,(2)

Από (1),(2) \rightarrow ST^2=S’T’_1^2=18x^2-24x+16=18(x- \frac{2}{3})^2+8

Συνεπώς για \displaystyle x= \frac{2}{3} έχω ST_{min}^2=8 \rightarrow  ST_{min}  =\sqrt{8}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες