Ορθογώνιο και ελάχιστη τιμή

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ορθογώνιο και ελάχιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 09, 2020 8:06 pm

Έστω x το εμβαδόν ενός ορθογωνίου. Αν αυξήσουμε καθεμία από τις διαστάσεις του κατά μία μονάδα,

προκύπτει ορθογώνιο με εμβαδόν 2 τ.μ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης \displaystyle x + \frac{1}{x}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ορθογώνιο και ελάχιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 09, 2020 10:00 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια προσέγγιση με κλασικά εργαλεία:

Έστω a>0, b>0 οι διαστάσεις του. Είναι  \displaystyle ab = x .

Είναι  \displaystyle \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow ab + a + b = 1 \Leftrightarrow a = \frac{{1 - b}}{{b + 1}} , 0<b<1.

Οπότε  \displaystyle x + \frac{1}{x} = \frac{{b - {b^2}}}{{b + 1}} + \frac{{b + 1}}{{b - {b^2}}} = \frac{{{b^4} - 2{b^3} + 2{b^2} + 2b + 1}}{{b - {b^3}}} .

H συνάρτηση  \displaystyle f\left( b \right) = \frac{{{b^4} - 2{b^3} + 2{b^2} + 2b + 1}}{{b - {b^3}}},\;\;b \in \left( {0,1} \right)

έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( b \right) = \frac{{ - {b^6} + 5{b^4} + 5{b^2} - 1}}{{{b^6} - 2{b^4} + {b^2}}} = \frac{{ - \left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{b^2} - 2b - 1} \right)\left( {{b^2} + 2b - 1} \right)}}{{{b^2}{{\left( {{b^2} - 1} \right)}^2}}}

Παρουσιάζει ελάχιστο για  \displaystyle b = \sqrt 2  - 1 , οπότε  \displaystyle a = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2  - 2}}{2} = \sqrt 2  - 1
άρα  \displaystyle x + \frac{1}{x} = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}} = 3 - 2\sqrt 2  + 3 + 2\sqrt 2  = 6 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης