Ελάχιστη εφαπτομένη

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 10, 2020 9:55 pm

Ελάχιστη εφαπτομένη.png
Ελάχιστη εφαπτομένη.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το σημείο M είναι το μέσο της υποτείνουσας BC

και το S , το μέσο της AM . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan(\widehat{BSC}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12227
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 11, 2020 12:44 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 9:55 pm
Ελάχιστη εφαπτομένη.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το σημείο M είναι το μέσο της υποτείνουσας BC

και το S , το μέσο της AM . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan(\widehat{BSC}) .
Ως προς ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το A, έχουμε \displaystyle{B(4p,0), \,C(0,4q)}. Έπεται ότι είναι M(2p,2q),\, S(p,q) και οι SB, SC έχουν κλίσεις

\displaystyle{\dfrac {q-0}{p-4p}=-\dfrac {q}{3p}} και \displaystyle{\dfrac {4q-q}{0-p}=-\dfrac {3q}{p}}, αντίστοιχα. Η ζητούμενη ως παραπληρωματική της γωνίας μεταξύ των ευθειών SB, SC ικανοποιεί

\displaystyle{\tan(\widehat{BSC}) = - \dfrac { \left ( -\dfrac {q}{3p}\right)  -\left ( -\dfrac {3q}{p}\right) }{1+ \left ( -\dfrac {q}{3p}\right) \left ( -\dfrac {3q}{p}\right) }=-\dfrac {8pq}{3(p^2+q^2) }\ge -\dfrac {4(p^2+q^2)}{3(p^2+q^2)}= -\dfrac {4}{3}}

με ισότητα αν p=q


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες