Το μικρότερο ελάχιστο

KARKAR · #1

Για τους μεταβλητούς θετικούς αριθμούς x , y

, ισχύει ότι : x+y=c

, με

σταθερό .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A=\left (x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left (y+\dfrac{1}{y}\right)^2$

β) Να συγκριθούν οι ελάχιστες τιμές της

, για

και

.

γ) Για ποια τιμή του

, η ελάχιστη τιμή της

, είναι η μικρότερη δυνατή ;

S.E.Louridas · #2

Μια άποψη:
Για το πρώτο:
$2A \geqslant {\left( {x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y}} \right)^2} \Rightarrow A \geqslant {\left( {c + \frac{c}{{xy}}} \right)^2},$ με ${\left( {xy} \right)_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{4}$ από γνωστή πρόταση.
Τελικά $A \geqslant \frac{{{{\left( {{c^2} + 4} \right)}^2}}}{{2{c^2}}}$
με την ισότητα να ισχύει αν $x = y = \frac{c}{2}.$
Επομένως ${A_{\min }} = \frac{{{{\left( {{c^2} + 4} \right)}^2}}}{{2{c^2}}}.$
Για c=1

, έχουμε $A = \frac{{25}}{2},$ για c=4

παίρνουμε $A = \frac{{25}}{2}.$

Για το δεύτερο:
Θεωρούμε τη συνάρτηση: $f:\left( {0, + \infty } \right) \to {\Cal R},\;f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}{x}$ από την ${A_{\min }} = \frac{{{{\left( {{c^2} + 4} \right)}^2}}}{{2{c^2}}}$ με την αντικατάσταση $x = {c^2} > 0.$ Η παράγωγος της είναι $f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 4} \right)x - {{\left( {x + 4} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 16}}{{{x^2}}},$ που μας οδηγεί στην ελάχιστη τιμή της f(x)

που είναι η $f\left( 4 \right).$ Επειδή όμως θέλουμε το ελάχιστο της

, εύκολα προκύπτει A = 8,

για $c = \sqrt 4 = 2.$

edit:
Απλά έγιναν συμπληρώσεις στο δεύτερο ερώτημα

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 1:28 pm
Για τους μεταβλητούς θετικούς αριθμούς , ισχύει ότι : , με σταθερό .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A=\left (x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left (y+\dfrac{1}{y}\right)^2$

β) Να συγκριθούν οι ελάχιστες τιμές της , για και .

γ) Για ποια τιμή του , η ελάχιστη τιμή της , είναι η μικρότερη δυνατή ;

α) Είναι $c^2=(x+y)^2\ge 4xy$ , άρα $-xy \ge \dfrac {c^2}{4}$ και επίσης $\dfrac {1}{xy} \ge \dfrac {4}{c^2}$ . Οπότε

$\displaystyle{ \left (x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left (y+\dfrac{1}{y}\right)^2 = x^2+y^2 + \dfrac {1}{x^2}+ \dfrac {1}{y^2}+4= (x+y)^2-2xy + \dfrac {(x+y)^2-2xy}{x^2y^2}+4}$

$\displaystyle{= c^2-2xy + \dfrac {c^2-2xy}{x^2y^2}+4 \ge c^2- \dfrac {c^2}{2} + ( {c^2}- \dfrac {c^2}{2})\cdot \dfrac {16}{c^4}+4 = \dfrac {c^2}{2} + \dfrac {8}{c^2}+4 }$

με ισότητα αν x=y=c/2

. Άρα το δεξί μέλος είναι το ζητούμενο ελάχιστο.

β) Για c=1

και

η προηγούμενη παράσταση ελαχίστου παίρνει την ίδια τιμή, 12,5

.

γ) Το ελάχιστο του ελαχίστου είναι από τον συλλογισμό $\displaystyle{ \dfrac {c^2}{2} + \dfrac {8}{c^2}+4 \ge 2\dfrac {c}{\sqrt 2} \dfrac {\sqrt 8}{c}+4=8}$ με ισότητα αν c=2

.

Το μικρότερο ελάχιστο

Το μικρότερο ελάχιστο

Re: Το μικρότερο ελάχιστο

Re: Το μικρότερο ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση