34 και βάλε

KARKAR · #1

: 34 και βάλε.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 1503 φορές

Στο εσωτερικό του τριγώνου ABC

με πλευρές : AB=10 , AC=17 , BC=21

, κινείται σημείο

. Αν :

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα , υπάρχει θέση του

, για την οποία : ST^2+SQ^2+SP^2=34

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2020 8:29 pm 34 και βάλε.pngΣτο εσωτερικό του τριγώνου με πλευρές : , κινείται σημείο . Αν :

οι προβολές του στις αντίστοιχα , υπάρχει θέση του , για την οποία : ;

Δεν υπάρχει.
Το εμβαδό του τριγώνου είναι

Αν πούμε

τα μήκη των καθέτων θα είναι $\frac{1}{2}(10x+17y+21z)=84$
Από C-S εχουμε
$(x^2+y^2+z^2)(10^2+17^2+21^2)\geq (168)^2$
δηλαδή
$(x^2+y^2+z^2)830\geq (168)^2$
Επειδή
$\frac{168^2}{830}> 34$
δέν υπάρχει.
Φυσικά ούτε εξω από το τρίγωνο υπάρχει γιατί τότε
$\frac{1}{2}(10x+17y+21z)\geq84$

#3

Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν

είναι το σημείο

$\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου 34,0048.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2020 10:58 am Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν είναι το σημείο

$\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου

Αν και δεν θυμάμαι ποιο είναι το σημείο $\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ του τριγώνου
με την απόδειξη που έγραψα παραπάνω μπορούμε να βρούμε ότι η ελάχιστη τιμή
είναι το
$\frac{168^2}{830}$
Αρκεί αντί C-S να κάνουμε την ταυτότητα του Lagrange.
Επίσης μπορούμε να βρούμε και ποιο είναι το σημείο.

Εκτός φακέλου
Ενδιαφέρον είναι να βρούμε και την μέγιστη τιμή όταν το σημείο είναι εντός του τριγώνου.
Αυτή είναι το τετράγωνο του μεγαλύτερου ύψους.
Το βλέπω ως εξής:
Εστω (x,y)

τα σημεία του επιπέδου και f(x,y)

είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από
τις πλευρές .
Η f(x,y)

πανεύκολα (αν γνωρίζει κάποιος κυρτές πολλών μεταβλητών) είναι κυρτή.
Είναι γνωστό ότι οι κυρτές παίρνουν μέγιστη τιμή στο σύνορο.
Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι σε μια από τις κορυφές του τριγώνου.

Ερώτηση.
Υπάρχει καθαρά Γεωμετρική απόδειξη για το παραπάνω ;

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2020 3:30 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2020 10:58 am Να συμπληρώσω απλώς, ότι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων επιτυγχάνεται όταν είναι το σημείο

$\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ του τριγώνου.Στο συγκεκριμένο τρίγωνο, αυτό το ελάχιστο είναι περίπου
Αν και δεν θυμάμαι ποιο είναι το σημείο $\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ του τριγώνου

Σημείο $\displaystyle {\rm{Lemoine}}$ είναι το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων ενός τριγώνου και αν x, y, z

είναι οι αποστάσεις του

από τις πλευρές a, b, c

αντίστοιχα, τότε είναι: $\displaystyle \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.$ Η απόδειξη που γνωρίζω για το ελάχιστο άθροισμα

τετραγώνων, γίνεται (όπως γράφεις) με την ταυτότητα του $\displaystyle {\rm{Lagrange}}.$

34 και βάλε

34 και βάλε

Re: 34 και βάλε

Re: 34 και βάλε

Re: 34 και βάλε

Re: 34 και βάλε

Μέλη σε σύνδεση