Αλγεβρικός τόπος

KARKAR · #1

: Αλγεβρικός τόπος.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Οι κορυφές A , D

του παραλληλογράμμου ABCD

είναι σταθερές , ενώ η πλευρά

ολισθαίνει πάνω στον

άξονα . Βρείτε την καρτεσιανή μορφή του γεωμετρικού τόπου

του κέντρου

, του κύκλου τον οποίον ορίζουν οι κορυφές B , C , D

.

#2

Ας είναι $B\left( {b,0} \right)\,$ άρα $C\left( {b + 2,0} \right)$ ,

πραγματική παράμετρος .

Η μεσοκάθετος του

έχει εξίσωση : $x = b + 1 \Leftrightarrow b = x - 1\,\,\left( 1 \right)$ .

Το $\overrightarrow {DC} = \left( {b, - 2} \right)$ άρα η κλίση της μεσοκαθέτου του

είναι : $\lambda = \dfrac{b}{2}$ και θα έχει

εξίσωση ( η μεσοκάθετος αυτή) : $y - 1 = \dfrac{b}{2}\left( {x - \dfrac{b}{2} - 2} \right)\,\,\left( 2 \right)$ αφού το μέσο του είναι $\left( {\dfrac{b}{2} + 2,1} \right)$ .

: Αλγεβρικός τόπος.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Μεταξύ των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ με απαλοιφή της παραμέτρου

έχω :

$\boxed{y = \frac{1}{4}{x^2} - x + \frac{7}{4}}\,\,\,$ παραβολή που μπορούμε να τη δούμε και ως : $\left\{ \begin{gathered} X = x - 2 \hfill \\ Y = y - \frac{3}{4} \hfill \\ {X^2} = 2 \cdot 2Y \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 8:18 pm
Αλγεβρικός τόπος.pngΟι κορυφές του παραλληλογράμμου είναι σταθερές , ενώ η πλευρά

ολισθαίνει πάνω στον άξονα . Βρείτε την καρτεσιανή μορφή του γεωμετρικού τόπου

του κέντρου , του κύκλου τον οποίον ορίζουν οι κορυφές .

Έστω $\displaystyle B(b,0),C(b + 2,0)$ και $\displaystyle {x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0$ η εξίσωση του κύκλου. Τότε $\displaystyle K\left( { - \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}} \right)$ και

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 8 + 2A + 2B + C = 0\\ {b^2} + bA + C = 0\\ {(b + 2)^2} + (b + 2)A + C = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = - 2(b + 1)\\ B = - \dfrac{{{b^2} - 2b + 4}}{2} \end{array} \right.$

Αν λοιπόν $\displaystyle K(x,y),$ τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = b + 1\\ y = \dfrac{{{b^2} - 2b + 4}}{4} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{y = \frac{1}{4}\left( {{x^2} - 4x + 7} \right)}$

Εναλλακτικά (εκτός φακέλου) η εξίσωση του κύκλου είναι: $\displaystyle \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}}&x&y&1\\ 8&2&2&1\\ {{b^2}}&b&0&1\\ {{{(b + 2)}^2}}&{b + 2}&0&1 \end{array}} \right| = 0$

Αλγεβρικός τόπος

Αλγεβρικός τόπος

Re: Αλγεβρικός τόπος

Re: Αλγεβρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση