Μέγιστο ύψος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11709
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 10, 2020 7:55 pm

Μέγιστο  ύψος.png
Μέγιστο ύψος.png (8.77 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Σε ημικύκλιο ακτίνας r=1 , σημείο S κινείται στην διάμετρό του AB . Σχεδιάζω την κάθετη προς

την AB , ημιευθεία SP και έστω D το σημείο στο οποίο η διχοτόμος της \widehat{PSB} , τέμνει την PB .

Η ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα M , N των SB , PD αντίστοιχα , τέμνει την SP στο σημείο T .

Υπολογίστε το μέγιστο "ύψος" του σημείου T . ( Υπόδειξη : Δείξτε ότι : TP=\dfrac{AS}{2} ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9574
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 11, 2020 4:44 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 10, 2020 7:55 pm
Μέγιστο ύψος.pngΣε ημικύκλιο ακτίνας r=1 , σημείο S κινείται στην διάμετρό του AB . Σχεδιάζω την κάθετη προς

την AB , ημιευθεία SP και έστω D το σημείο στο οποίο η διχοτόμος της \widehat{PSB} , τέμνει την PB .

Η ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα M , N των SB , PD αντίστοιχα , τέμνει την SP στο σημείο T .

Υπολογίστε το μέγιστο "ύψος" του σημείου T . ( Υπόδειξη : Δείξτε ότι : TP=\dfrac{AS}{2} ) .
Χωρίς τη χρήση της υπόδειξης. Έστω SB=x, PS=y. Τότε PB=\sqrt{2x} και \boxed{y = \sqrt {x(2 - x)} } (1)
Μέγιστο ύψος.Κ3.png
Μέγιστο ύψος.Κ3.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Λόγω της διχοτόμου είναι \displaystyle BD = \frac{{x\sqrt {2x} }}{{x + y}},DP = \frac{{y\sqrt {2x} }}{{x + y}} και με θεώρημα Μενελάου στο PSB και διατέμνουσα

\displaystyle \overline {TNM} είναι: \displaystyle \frac{{SM}}{{MB}} \cdot \frac{{BN}}{{NP}} \cdot \frac{{TP}}{{TS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{x\sqrt {2x} }}{{x + y}} + \dfrac{{y\sqrt {2x} }}{{2(x + y)}}}}{{\dfrac{{y\sqrt {2x} }}{{2(x + y)}}}} = \dfrac{{TS}}{{TP}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x\sqrt {2x}  + y\sqrt {2x} }}{{y\sqrt {2x} }} = \frac{{TS}}{{TS - y}}

\displaystyle TS = y + \frac{{{y^2}}}{{2x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{f(x) = TS = \sqrt {x(2 - x)}  + \frac{{2 - x}}{2}, 0<x<2} με \displaystyle f'(x) = \frac{{2(1 - x) - \sqrt {x(2 - x)} }}{{2\sqrt {x(2 - x)} }},

απ' όπου παίρνω για \boxed{ x = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{5}} μέγιστη τιμή \boxed{ T{S_{\max }} =\frac{\sqrt 5+1}{2}= \Phi}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης