Μέγιστο γινόμενο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12167
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιούλ 25, 2020 5:52 pm

PRODUCT.png
PRODUCT.png (7.28 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο και το τόξο \overset{\frown}{BD} τεταρτοκύκλιο , κέντρου A και ακτίνας

AB=a . Το σημείο T κινείται επί της CD και η BT τέμνει το τόξο στο σημείο S .

Κατασκευάστε το σημείο S , ώστε να επιτύχετε το μέγιστο του γινομένου : BS\cdot ST



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 25, 2020 11:04 pm

Έστω DT = x\,\,,\,\,0 < x < a και M η προβολή του A στην DB. Ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  D{T^2} = TS \cdot TB = TS(TS + SB) = T{S^2} + TS \cdot SB \hfill \\ 
  \frac{{DT}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{TS}}{{\sin \theta }} \hfill \\ 
  D{T^2} = S{T^2} + S{D^2} -2 ST \cdot SD\cos 45^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Η πρώτη από τη δύναμη του σημείου D η δεύτερη από το νόμο του ημιτόνου στο \vartriangle TDS και η Τρίτη από το νόμο του συνημιτόνου στο ίδιο τρίγωνο .

Για ευκολία πράξεων θέτω: TS \cdot BS = G, ST = t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = d και οι προηγούμενες δίδουν:
μέγιστο γινόμενο_KARKAR_25_7_20.png
μέγιστο γινόμενο_KARKAR_25_7_20.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  G = {x^2} - {t^2}\,\,\,(1) \hfill \\ 
  {x^2} = {d^2} + {t^2} - dt\sqrt 2 \,\,\,(2) \hfill \\ 
  d = \frac{{a\sqrt 2 t}}{x}\,\,(3) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. κι αυτό γιατί \left\{ \begin{gathered} 
  \sin \theta  = \frac{{d/2}}{a} = \frac{d}{{2a}} \hfill \\ 
  \sin \theta  = \frac{{t\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{x} = \frac{{t\sqrt 2 }}{{2x}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,

Η \left( 2 \right) λόγω της \left( 3 \right) δίδει : {t^2} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2} - 2ax + 2{a^2}}} οπότε η \left( 1 \right) δίδει:

\boxed{G = f(x) = \frac{{2a{x^2}(a - x)}}{{{x^2} - 2ax + 2{a^2}}}} που παρουσιάζει μέγιστο για :

\displaystyle \boxed{x = \frac{{\sqrt[3]{2}a\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  - 13}} - \sqrt[3]{2}a\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  + 13}} + 4a}}{3} \simeq 0,7044022574a}.

Ο προσδιορισμός του T μας δίδει και το S


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10031
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 26, 2020 9:18 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 5:52 pm
PRODUCT.pngΤο ABCD είναι τετράγωνο και το τόξο \overset{\frown}{BD} τεταρτοκύκλιο , κέντρου A και ακτίνας

AB=a . Το σημείο T κινείται επί της CD και η BT τέμνει το τόξο στο σημείο S .

Κατασκευάστε το σημείο S , ώστε να επιτύχετε το μέγιστο του γινομένου : BS\cdot ST
Μέγιστο γινόμενοΚ.png
Μέγιστο γινόμενοΚ.png (8.87 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
TS = \dfrac{{{x^2}}}{{TB}}\\ 
\\ 
{x^2} = T{S^2} + TS \cdot SB 
\end{array} \right. \Rightarrow TS \cdot SB = {x^2} - \dfrac{{{x^4}}}{{T{B^2}}} \Leftrightarrow \boxed{TS \cdot SB = {x^2} - \frac{{{x^4}}}{{{a^2} + {{(a - x)}^2}}}}

Με χρήση λογισμικού καταλήγω στην ίδια τιμή με τον φίλτατο Νίκο, εκτός κι αν ο Θανάσης έχει κάτι άλλο υπόψη του για την κατασκευή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης