Μέγιστο γινόμενο

KARKAR · #1

: PRODUCT.png (7.28 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Το

είναι τετράγωνο και το τόξο $\overset{\frown}{BD}$ τεταρτοκύκλιο , κέντρου

και ακτίνας

AB=a

. Το σημείο

κινείται επί της

και η

τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Κατασκευάστε το σημείο

, ώστε να επιτύχετε το μέγιστο του γινομένου : $BS\cdot ST$

#2

Έστω $DT = x\,\,,\,\,0 < x < a$ και

η προβολή του

στην

. Ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} D{T^2} = TS \cdot TB = TS(TS + SB) = T{S^2} + TS \cdot SB \hfill \\ \frac{{DT}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{TS}}{{\sin \theta }} \hfill \\ D{T^2} = S{T^2} + S{D^2} -2 ST \cdot SD\cos 45^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η πρώτη από τη δύναμη του σημείου

η δεύτερη από το νόμο του ημιτόνου στο $\vartriangle TDS$ και η Τρίτη από το νόμο του συνημιτόνου στο ίδιο τρίγωνο .

Για ευκολία πράξεων θέτω: $TS \cdot BS = G$ , $ST = t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = d$ και οι προηγούμενες δίδουν:

: μέγιστο γινόμενο_KARKAR_25_7_20.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

$\left\{ \begin{gathered} G = {x^2} - {t^2}\,\,\,(1) \hfill \\ {x^2} = {d^2} + {t^2} - dt\sqrt 2 \,\,\,(2) \hfill \\ d = \frac{{a\sqrt 2 t}}{x}\,\,(3) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι αυτό γιατί $\left\{ \begin{gathered} \sin \theta = \frac{{d/2}}{a} = \frac{d}{{2a}} \hfill \\ \sin \theta = \frac{{t\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{x} = \frac{{t\sqrt 2 }}{{2x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,$

Η $\left( 2 \right)$ λόγω της $\left( 3 \right)$ δίδει : ${t^2} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2} - 2ax + 2{a^2}}}$ οπότε η $\left( 1 \right)$ δίδει:

$\boxed{G = f(x) = \frac{{2a{x^2}(a - x)}}{{{x^2} - 2ax + 2{a^2}}}}$ που παρουσιάζει μέγιστο για :

$\displaystyle \boxed{x = \frac{{\sqrt[3]{2}a\sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 13}} - \sqrt[3]{2}a\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 13}} + 4a}}{3} \simeq 0,7044022574a}$ .

Ο προσδιορισμός του

μας δίδει και το

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 5:52 pm
PRODUCT.pngΤο είναι τετράγωνο και το τόξο $\overset{\frown}{BD}$ τεταρτοκύκλιο , κέντρου και ακτίνας

. Το σημείο κινείται επί της και η τέμνει το τόξο στο σημείο .

Κατασκευάστε το σημείο , ώστε να επιτύχετε το μέγιστο του γινομένου : $BS\cdot ST$

: Μέγιστο γινόμενοΚ.png (8.87 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} TS = \dfrac{{{x^2}}}{{TB}}\\ \\ {x^2} = T{S^2} + TS \cdot SB \end{array} \right. \Rightarrow TS \cdot SB = {x^2} - \dfrac{{{x^4}}}{{T{B^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{TS \cdot SB = {x^2} - \frac{{{x^4}}}{{{a^2} + {{(a - x)}^2}}}}$

Με χρήση λογισμικού καταλήγω στην ίδια τιμή με τον φίλτατο Νίκο, εκτός κι αν ο Θανάσης έχει κάτι άλλο υπόψη του για την κατασκευή.

Μέγιστο γινόμενο

Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση