Ο ρόλος των διαμέσων
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13261
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ο ρόλος των διαμέσων
α) Να εκφράσετε το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των διαμέσων του
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Εστω το τρίγωνο το βαρύκεντρο και το μέσο τουgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 10, 2020 11:28 amα) Να εκφράσετε το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των διαμέσων του
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
Αν το συμμετρικό του ως προς το
το τρίγωνο έχει πλευρές τα
των διαμέσων και εμβαδό το του τριγώνου.
Παίρνουμε το Ηρωνα και τελειώσαμε.
Το πρόβλημα είναι πότε μεγιστοποιείται το εμβαδό τριγώνου όταν οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από
δοσμένα μήκη.
Με την προυπόθεση ότι τα δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου το μέγιστο εμβαδό
λαμβάνεται όταν πάρουμε το τρίγωνο με τα δοσμένα μήκη.
Εχω γεωμετρική απόδειξη αλλά δυστυχώς δεν προλαβαίνω να την γράψω.
Αν δεν απαντηθεί θα την γράψω.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13261
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Η άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα:
α) Να δείξετε ότι
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
α) Να δείξετε ότι
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Θα γράψω την γεωμετρική απόδειξη που χρωστάω.
Στην ουσία έχουμε το εξής:
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό τριγώνου που οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από ;
1)Από συμπάγεια η μέγιστη τιμή πιάνεται.
Αν αυτή πιάνεται με όπου τότε για
αρκετά μικρό μπορούμε να έχουμε τρίγωνο
όμοιο με το αρχικό,με μεγαλύτερο εμβαδό ,και που πληρούνται οι ανισότητες.
Αρα τουλάχιστον μια πλευρά του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδό θα είναι η η
2)Θα δείξουμε ότι δεν είναι
Εστω ότι το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι
Αν είναι το με
Με κέντρο το φέρουμε ημικύκλιο ακτίνας .Αν πάρουμε κάθετο από το που τέμνει το ημικύκλιο στο τότε το τρίγωνο
έχει μεγαλύτερο εμβαδό από το προηγούμενο και πληρούνται οι περιορισμοί.
Αρα μία πλευρά του τριγώνου θα είναι η
Οι περιπτώσεις είναι όμοιες.
3)Αν μια πλευρά είναι τότε οι΄άλλες θα είναι και
Ας είναι το με
Θα είναι
Αν φέρουμε τους κύκλους και τότε το θα βόσκει στο κοινό τους μέρος.
Αμεσα βλέπουμε ότι το τρίγωνο έχει μέγιστο εμβαδό όταν το βρίσκεται στην κάθετο από το στην
και .
Ετσι θα είναι
Η περίπτωση να είναι μια πλευρά ίση με αντιμετωπίζεται όπως η περίπτωση 3)
Στην ουσία έχουμε το εξής:
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό τριγώνου που οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από ;
1)Από συμπάγεια η μέγιστη τιμή πιάνεται.
Αν αυτή πιάνεται με όπου τότε για
αρκετά μικρό μπορούμε να έχουμε τρίγωνο
όμοιο με το αρχικό,με μεγαλύτερο εμβαδό ,και που πληρούνται οι ανισότητες.
Αρα τουλάχιστον μια πλευρά του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδό θα είναι η η
2)Θα δείξουμε ότι δεν είναι
Εστω ότι το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι
Αν είναι το με
Με κέντρο το φέρουμε ημικύκλιο ακτίνας .Αν πάρουμε κάθετο από το που τέμνει το ημικύκλιο στο τότε το τρίγωνο
έχει μεγαλύτερο εμβαδό από το προηγούμενο και πληρούνται οι περιορισμοί.
Αρα μία πλευρά του τριγώνου θα είναι η
Οι περιπτώσεις είναι όμοιες.
3)Αν μια πλευρά είναι τότε οι΄άλλες θα είναι και
Ας είναι το με
Θα είναι
Αν φέρουμε τους κύκλους και τότε το θα βόσκει στο κοινό τους μέρος.
Αμεσα βλέπουμε ότι το τρίγωνο έχει μέγιστο εμβαδό όταν το βρίσκεται στην κάθετο από το στην
και .
Ετσι θα είναι
Η περίπτωση να είναι μια πλευρά ίση με αντιμετωπίζεται όπως η περίπτωση 3)
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Για το πρώτο ερώτημα.Δεν γνωρίζω αν είναι εντός φακέλλου.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Σεπ 18, 2020 11:06 amΗ άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα:
α) Να δείξετε ότι
β) Αν να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.
Πάντως κάποτε τέτοια θέματα ηταν στις εξετάσεις για ΑΕΙ.
Στην ουσία πρέπει να δείξουμε την ταυτότητα
όπου μία απόλυτη σταθερά.
Η ταυτότητα είναι συμμετρική και κυκλική.
Αν ισχύει.(πράξεις)
Λόγω συμμετρίας το δεξιό είναι γινόμενο ενος πολυωνυμου πρώτου βαθμού επί το
Αλλά και για ισχύει.
Αρα έχουμε την ταυτότητα.
Το το υπολογίζουμε αν τα βάλουμε όλα και είναι
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13261
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Ευχαριστώ τον Σταύρο για την κάλυψη του παρόντος θέματος. Να πω απλώς,
ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre:
Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ως παραγοντοποίηση από το πρώτο μέλος στο δεύτερο. Να συμπληρώσω ακόμα
ότι στο β) ερώτημα η απάντηση είναι αν αντικαταστήσουμε στον τύπο του εμβαδού τις τιμές που βρήκε ο Σταύρος
Τέλος δίνω την πηγή: Czeck and Slovak Olympiad III A 2012 .
ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre:
Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ως παραγοντοποίηση από το πρώτο μέλος στο δεύτερο. Να συμπληρώσω ακόμα
ότι στο β) ερώτημα η απάντηση είναι αν αντικαταστήσουμε στον τύπο του εμβαδού τις τιμές που βρήκε ο Σταύρος
Τέλος δίνω την πηγή: Czeck and Slovak Olympiad III A 2012 .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Καλημέρα Γιώργο.george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 19, 2020 4:43 pmΕυχαριστώ τον Σταύρο για την κάλυψη του παρόντος θέματος. Να πω απλώς,
ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre:
Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ως παραγοντοποίηση από το πρώτο μέλος στο δεύτερο. Να συμπληρώσω ακόμα
ότι στο β) ερώτημα η απάντηση είναι αν αντικαταστήσουμε στον τύπο του εμβαδού τις τιμές που βρήκε ο Σταύρος
Τέλος δίνω την πηγή: Czeck and Slovak Olympiad III A 2012 .
Την γνώριζα την ταυτότητα αλλά με την ευκαιρία έκανα ''διαφήμιση' της θεωρίας πολυωνύμων πολλών μεταβλητών.
Θεωρία που τώρα δεν διδάσκεται σχεδόν πουθενά.
Στα πανεπιστήμια μόνο σε πολύ προχωρημένα μαθήματα Αλγεβρας διδάσκεται.
Η πιο απλή απόδειξη της είναι με θεωρία τριωνύμου.
Θεωρούμε το πρώτο μέλος τριώνυμο του βρίσκουμε τις ρίζες κλπ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13261
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ο ρόλος των διαμέσων
Καλησπέρα Σταύρο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 20, 2020 10:18 am
Καλημέρα Γιώργο.
Την γνώριζα την ταυτότητα αλλά με την ευκαιρία έκανα ''διαφήμιση' της θεωρίας πολυωνύμων πολλών μεταβλητών.
Θεωρία που τώρα δεν διδάσκεται σχεδόν πουθενά.
Στα πανεπιστήμια μόνο σε πολύ προχωρημένα μαθήματα Αλγεβρας διδάσκεται.
Η πιο απλή απόδειξη της είναι με θεωρία τριωνύμου.
Θεωρούμε το πρώτο μέλος τριώνυμο του βρίσκουμε τις ρίζες κλπ
Ασφαλώς και τη γνώριζες την ταυτότητα. Δεν φαντάζομαι να υπάρχει μαθηματικός που να μην την γνωρίζει. Αυτό που ήθελα να τονίσω, είναι ότι παλιά την μαθαίναμε στο σχολείο, μαζί με την ταυτότητα του Lagrange (με τις ορίζουσες), το Διώνυμο του Νεύτωνα, το άθροισμα ομοίων δυνάμεων με περιττό εκθέτη, κλπ. Πόσοι από τους σημερινούς μαθητές (που δεν ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά) γνωρίζουν αυτούς τους τύπους;
Να πω ακόμα ότι η πρώτη μου επαφή με την ταυτότητα του Euler ήταν ως άσκηση στην Γ' Γυμνασίου: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση (Δεν την κατάφερα).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης