Καρτεσιανός τόπος

KARKAR · #1

: Καρτεσιανός τόπος.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Το σημείο

κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου

. Η

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

, στο σημείο

και η

τέμνει το

στο

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 7:23 pm Καρτεσιανός τόπος.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Η τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

, στο σημείο και η τέμνει το στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Έστω

σημείο του τμήματος

ώστε

Προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι μπλε. Άρα, $\displaystyle Q\widehat TB = 90^\circ .$

: Καρτεσιανός τόπος.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{TB}}{{SC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{1}{2}\\ \\ \dfrac{{PB}}{{SC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{2}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{TB}}{{PB}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{{BQ}}{{BA}} = \dfrac{{BQ}}{8} \Leftrightarrow BQ = 6$

Άρα το

είναι σταθερό με συντεταγμένες Q(-3,0).

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το βόρειο ημικύκλιο διαμέτρου QB.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 7:23 pm Καρτεσιανός τόπος.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Η τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

, στο σημείο και η τέμνει το στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

$PB//SC\Rightarrow \dfrac{TB}{SC}=\dfrac{MT}{MS}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},(1),MB=2,MC=2\sqrt{2}$

Αν είναι $S(x_{1},\psi _{1}),T(x_{T},\psi _{T}),$

Η εξίσωση για το κοκκινο ημικύκλιο είναι $(x-1)^{2}+\psi ^{2}=36,\psi >0,$

$(1)\Rightarrow \dfrac{(x_{T}-3)^{2}+\psi _{T}^{2}}{(x_{1}-7)^{2}+\psi _{1}^{2}}= \dfrac{1}{4},(2), \dfrac{(x_{T}+1)^{2}+\psi_{T}^{2} }{(x_{1}+1)^{2}+\psi _{1}^{2}}=\dfrac{1}{4},(3), (x_{1}-1)^{2}+\psi _{1}^{2}=36,(4)$

Από (2),(3),(4)

Απαλείφουμε τα $x_{1},\psi _{1},x_{T}^{2}+\psi _{T}^{2}=9$

Αρα ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το ημικύκλιο κέντρου O(0,0)

και ακτίνας

#4

: Καρτεσιανός τόπος.png (36.94 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Είναι :

και αφού

ως κάθετες στην

θα είναι :

$\boxed{MT = TS}$ Το

διαγράφει ημικύκλιο κέντρου

μέσου του

άρα ακτίνας

.

Συνεπώς το

θα διαγράφει το ομοιόθετο ημικύκλιο κέντρου

, μέσου του

κι ακτίνας

.

Και η καρτεσιανή λύση

Αν $S\left( {a,b} \right)$ τότε θα επαληθεύει την εξίσωση του ημικυκλίου :

${\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} = 36\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b \geqslant 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$ . Το $T\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ σημείο του τόπου θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} {x_0} = \frac{{a + 1}}{2} \hfill \\ {y_0} = \frac{b}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x_0} = a + 1 \hfill \\ 2{y_0} = b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και ή $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{x_0^2 + y_0^2 = 9\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{y_0} \geqslant 0}$

Καρτεσιανός τόπος

Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Μέλη σε σύνδεση