Ελαχιστοποίηση εμβαδού

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12745
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:09 pm

Ελαχιστοποίηση  εμβαδού.png
Ελαχιστοποίηση εμβαδού.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
Το ορθογώνιο τραπέζιο ABCD , δημιουργείται από την εφαπτομένη σε κινούμενο σημείο S ,

του - ακτίνας r - τεταρτοκυκλίου A\overset{\frown}{ED} και την εφαπτομένη του τόξου στο σημείο D .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του ABCD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 27, 2020 11:19 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:09 pm
Ελαχιστοποίηση εμβαδού.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD , δημιουργείται από την εφαπτομένη σε κινούμενο σημείο S ,

του - ακτίνας r - τεταρτοκυκλίου A\overset{\frown}{ED} και την εφαπτομένη του τόξου στο σημείο D .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του ABCD .
Ελαχ.Εμβ..png
Ελαχ.Εμβ..png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
\displaystyle {(ABCD)_{\min }} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2} όταν το S είναι μέσο της BC. (Το ABC είναι ισόπλευρο).

Η λύση το απογευματάκι αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Νοέμ 27, 2020 2:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Νοέμ 27, 2020 1:16 pm

Καλημέρα!
Στο σχήμα του κύριου Βισβίκη:
Ελαχ.Εμβ..png
Ελαχ.Εμβ..png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
AS=CH, \angle S=\angle H=90^{\circ}\Rightarrow ASB=CHB\Rightarrow HB=SB=a-x
Από ΠΘ στο CHB είναι: a^2=(a-x)^2+r^2\Leftrightarrow a=\dfrac{x^2+r^2}{2x}
\Leftrightarrow r\cdot \dfrac{a+x}{2}=r\cdot \dfrac{3x^2+r^2}{4x}
\Leftrightarrow (ABCD)=r\cdot \dfrac{3x^2+r^2}{4x}
Έστω f(x)=r\cdot\dfrac{3x^2+r^2}{4x}
\Rightarrow f'(x)=r\cdot \dfrac{12x^2-4r^2}{16x^2}
Η οποία μηδενίζεται για x=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot r
\Rightarrow (ABCD)_{min}=r\cdot\dfrac{2r^2}{4r\frac{\sqrt 3}{3}}=\dfrac{r^2\sqrt 3}{2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8104
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 27, 2020 11:48 pm

Ελαχιστοποίηση εμβαδού.png
Ελαχιστοποίηση εμβαδού.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές

Ας είναι MN = m η διάμεσος του τραπεζίου ABCD με το N στη σταθερή AD = r.

\boxed{\left( {ABCD} \right) = rm} .Αρκεί το m να γίνει ελάχιστο.

Το M αποκλείεται να γίνει εσωτερικό σημείο του κύκλου , δηλαδή

AM \geqslant r \Leftrightarrow A{M^2} \geqslant {r^2} \Leftrightarrow A{M^2} - \dfrac{{{r^2}}}{4} \geqslant \dfrac{{3{r^2}}}{4} \Leftrightarrow \boxed{m \geqslant \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}}

Συνεπώς έχω ελάχιστο εμβαδόν όταν \boxed{m = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}} το \boxed{{{\left( {ABCD} \right)}_{\min }} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}}

και τότε προφανώς S \equiv M.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης