Μέγιστο ημίτονο

KARKAR · #1

: Μέγιστο ημίτονο.png (7.49 KiB) Προβλήθηκε 977 φορές

Χωρίσαμε τις πλευρές CA , AB

τριγώνου

- μεταβλητής βάσης - σε τμήματα : CE=1 , EA=2 ,

. Η προεκτάσεις των BC , DE

, τέμνονται στο

. Βρείτε το μέγιστο του $\sin\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 01, 2020 1:39 pm Μέγιστο ημίτονο.pngΧωρίσαμε τις πλευρές τριγώνου - μεταβλητής βάσης - σε τμήματα :

. Η προεκτάσεις των , τέμνονται στο . Βρείτε το μέγιστο του $\sin\theta$ .

: μέγιστο ημι_ok.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Από Θ Μενελάου έχω τους λόγους που φαίνονται στο σχήμα.

Από Θ συνημίτονου για την γωνία

έχω τη σχέση : $\boxed{k = \frac{{\sqrt {7{m^2} + 1} }}{{\sqrt 2 }}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ECS$ βρίσκω : $\cos \theta = \dfrac{{49{m^2} + 9{k^2} - 1}}{{42km}}$

Από την $\left( 1 \right)$ έχω συνάρτηση $f(m) = \cos \theta$ που έχει ελάχιστο για $\boxed{m = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}$ και έτσι έχω μέγιστο $\boxed{{{\left( {\sin \theta } \right)}_{\max }} = \frac{1}{3}}$

Altrian · #3

Καλησπέρα,

Φέρνουμε από το

παράλληλη προς την

. Εστω ο κύκλος (A,3)

και μεταβλητός κύκλος (O,x)

που έχει ως χορδή την

. Προφανώς η ζητούμενη γωνία μεγιστοποιείται (άρα και το ημίτονο αυτής) όταν το

γίνει ελάχιστο αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν κοινά σημεία (τα

). Αυτό συμβαίνει (η μέγιστη γωνία) όταν οι κύκλοι εφάπτονται.
Τότε από δύναμη του

ως προς τον (O,x)

έχουμε:
$3(2x+3)=4,5*7\Rightarrow x=3,75\Rightarrow sin(\theta)=\dfrac{1,25}{3,75}=\dfrac{1}{3}$
που συμφωνεί με το αποτέλεσμα του Νίκου

#4

Altrian έγραψε: Τετ Δεκ 02, 2020 4:34 pm Καλησπέρα,

Φέρνουμε από το παράλληλη προς την . Εστω ο κύκλος και μεταβλητός κύκλος που έχει ως χορδή την . Προφανώς η ζητούμενη γωνία μεγιστοποιείται (άρα και το ημίτονο αυτής) όταν το γίνει ελάχιστο αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν κοινά σημεία (τα ). Αυτό συμβαίνει (η μέγιστη γωνία) όταν οι κύκλοι εφάπτονται.
Τότε από δύναμη του ως προς τον έχουμε:
$3(2x+3)=4,5*7\Rightarrow x=3,75\Rightarrow sin(\theta)=\dfrac{1,25}{3,75}=\dfrac{1}{3}$
που συμφωνεί με το αποτέλεσμα του Νίκου

Πολύ όμορφη λύση

Μέγιστο ημίτονο

Μέγιστο ημίτονο

Re: Μέγιστο ημίτονο

Re: Μέγιστο ημίτονο

Re: Μέγιστο ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση