Εξίσωση και τραπέζιο

#1

Α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0$

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 15, 2020 1:17 pm
Α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0$

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.

To μυστικό είναι ότι 1+13=5+9

.

Γράφουμε την παραπάνω ως

$\displaystyle [(x - 1)(x - 13)][(x - 5)(x - 9) + 31 = 0$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{[x^2-14x+13][x^2-14x+45]+31=0}$ οπότε με t=x^2-14x+13

έχουμε

$\displaystyle{t(t+32)+31=0}$

H δευτεροβάθμια αυτή έχει ρίζες $t=-1,\, t=-31$ οπότε τώρα λύνουμε τις

$\displaystyle{x^2-14x +13 = -1,\,\,\, x^2-14x+13=-31}$

Θα βρούμε $\displaystyle{ 7-\sqrt {35}, 7+\sqrt {35}}$ και $\displaystyle{ 7-\sqrt {5}, 7+\sqrt {5}}$ , αντίστοιχα.

Για το εμβαδόν τις κατατάσσουμε πρώτα κατά σειρά μεγέθους, που είναι $\displaystyle{ a=7-\sqrt {35} < b= 7-\sqrt {5} < c=7+\sqrt {5}<d= 7+\sqrt {35}}$

Φέρνοντας παράλληλη της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές σχηματίζεται τρίγωνο με πλευρές b,c

και $d-a=2\sqrt {35}$ . Έχει περίμετρο

$2s= b+c+(d-a)=14+2\sqrt {35}$ , οπότε από τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε το εμβαδόν του $E= \sqrt {420}$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις αλλά δεν είναι δύσκολο γιατί με διάφορες διαφορές τετραγώνων που εμφανίζονται, οι παράγοντας παίρνουν ακέραιες τιμές). Άρα το ύψος του είναι

$\displaystyle{ \dfrac {2E}{d-a}}$ και το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\frac {1}{2}(a+d)\cdot \dfrac {2E}{d-a} +E=\frac {1}{2}(14)\cdot \dfrac {2E}{2\sqrt 35} +E = \dfrac {7\sqrt {35}}{35}E+E=...$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 15, 2020 1:17 pm
Α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0$

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.

Το πρώτο όπως ο Κ. Λάμπρου .

β)Αν $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ το τραπέζιο με $AB//CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB > CD$ , θεωρώ τις προβολές $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ των D,C

στην

.

Θέτω $ZC = a\,\,,\,\,AE = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = CZ = y$

Ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} a + b = 7 + \sqrt {35} - \left( {7 - \sqrt {35} } \right) = 2\sqrt {35} \,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {a^2} = {\left( {7 + \sqrt 5 } \right)^2} - {y^2}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ {b^2} = {\left( {7 - \sqrt 5 } \right)^2} - {y^2}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Εξίσωση και τραπέζιο.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

Με αφαίρεση κατά μέλη των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ λαμβάνοντας υπ’ όψη την $\left( 1 \right)$ έχω:

$a - b = 2\sqrt 7$ οπότε και λόγω πάλι της $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $\boxed{a = \sqrt {35} + \sqrt 7 }$ .

έτσι τώρα η $\left( 2 \right)$ δίδει : ${y^2} = 12 \Rightarrow y = 2\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = 14\sqrt 3 }$ .

#4

Λίγο διαφορετικά για τη λύση της εξίσωσης.

Παρατηρούμε ότι ο x-7=y

είναι αριθμητικός μέσος των παραστάσεων $\displaystyle x - 1,x - 5, x - 9, x - 13.$

Είναι λοιπόν $\boxed{x=y+7}$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle (y + 6)(y + 2)(y - 2)(y - 6) + 31 = 0$

$\displaystyle ({y^2} - 36)({y^2} - 4) + 31 = 0 \Leftrightarrow {y^4} - 40{y^2} + 175 = 0 \Leftrightarrow$ y^2=35

ή

απ' όπου

$\boxed{x = 7 \pm \sqrt {35} }$ ή $\boxed{x = 7 \pm \sqrt 5 }$

Εξίσωση και τραπέζιο

Εξίσωση και τραπέζιο

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση