Ώρα εφαπτομένης 78

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 78

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am

Ώρα εφαπτομένης 78.png
Ώρα εφαπτομένης 78.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με βάση : BC=6 και σκέλη : AB=AC=5 . Από το σημείο B

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος AD στο σημείο T και την πλευρά AB στο S .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : BT\cdot BS

B) Να υπολογισθεί η : \tan\widehat{BSC} , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 09, 2021 10:40 am

Είναι \displaystyle{\sin C=\frac{4}{5},  \cos C=\frac{3}{5}.}

Από νόμο ημιτόνων στο \displaystyle{BCS} έχουμε \displaystyle{BS=\frac{24}{5\sin \theta}.}


Στο τρίγωνο \displaystyle{BTD} βρίσκουμε \displaystyle{BT=\frac{3}{\cos \angle DBT}=\frac{3}{\cos (180^o-\theta -C)}=\frac{3}{-\cos (\theta +C)}=}

\displaystyle{=\frac{3}{\sin \theta \sin C-\cos \theta \cos C}=\frac{15}{4\sin \theta -3\cos \theta}}.

Άρα

\displaystyle{BS\cdot BT=\frac{72}{4\sin ^2 \theta -3\sin \theta \cos \theta }=\frac{144}{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)}.}

Φυσικά είναι \displaystyle{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)>0} και επίσης \displaystyle{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)\leq 9.}

Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι \displaystyle{16} και πιάνεται όταν \displaystyle{3\sin 2\theta +4\cos 2\theta =-5.}

Τότε, από τις σχέσεις

\displaystyle{\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan ^2x}, \cos 2x=\frac{1-\tan ^2x}{1+\tan ^2x}} βρίσκουμε \displaystyle{\tan \theta =-3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 09, 2021 11:50 am

Καλημέρα σε όλους. Ξανακοιτώντας τη λύση μου, βλέπω ότι στο ξεκίνημα είναι όμοια με του Θάνου. Την αναρτώ, επειδή τη συνεχίζω με εργαλεία παραγώγων.

Ώρα εφαπτομένης 78.png
Ώρα εφαπτομένης 78.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Έστω  \displaystyle \widehat {DBA} = \varphi ,\;\;0 < \varepsilon \varphi \varphi  < \frac{4}{3},\;\;\;\widehat {BSC} = \theta ,\;\;2\tau o\xi \eta \mu \frac{4}{5} < \theta  < \pi ,

Είναι  \displaystyle {\rm B}{\rm T} = \frac{3}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} . Είναι  \displaystyle \eta \mu C = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{4}{5},\;\sigma \upsilon \nu C = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{3}{5}

Από Ν. Ημιτόνων στο BAS είναι  \displaystyle \frac{{BS}}{{\eta \mu C}} = \frac{6}{{\eta \mu \theta }} \Leftrightarrow BS = \frac{{24}}{{5\eta \mu \theta }} .

 \displaystyle BT \cdot BS = \frac{{72}}{{5\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \varphi }}

Είναι  \displaystyle \theta  + \varphi  = 180^\circ  - C \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ  - C - \theta } \right) =  - \sigma \upsilon \nu \left( {C + \theta } \right) = \frac{4}{5}\eta \mu \theta  - \frac{3}{5}\sigma \upsilon \nu \theta

Είναι  \displaystyle \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}\theta  - \frac{3}{5}\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}\theta  - \frac{3}{{10}}\eta \mu 2\theta .

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}x - \frac{3}{{10}}\eta \mu 2x,\;\;x \in \left( {2\tau o\xi \eta \mu \frac{4}{5},\pi } \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2},\;\pi } \right)

έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = \frac{4}{5}\eta \mu 2x - \frac{3}{5}\sigma \upsilon \nu 2x

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2\varepsilon \varphi x}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}x}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 3\varepsilon {\varphi ^2}x + 8\varepsilon \varphi x - 3 = 0

 \displaystyle \varepsilon \varphi x = \frac{1}{3} που απορρίπτεται και  \displaystyle \varepsilon \varphi x =  - 3 .

Η f παρουσιάζει μέγιστο για  \displaystyle \varepsilon \varphi {x_0} =  - 3.

Tότε  \displaystyle \eta \mu {x_0} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}},\;\;\sigma \upsilon \nu {x_0} =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \eta \mu 2{x_0} =  - \frac{3}{5} άρα  \displaystyle f\left( {{x_0}} \right) = \frac{9}{{10}}\;

Οπότε  \displaystyle BT \cdot B{S_{\min }} = \frac{{720}}{{45}} = 16 .
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Ιαν 09, 2021 12:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 09, 2021 12:13 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με βάση : BC=6 και σκέλη : AB=AC=5 . Από το σημείο B

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος AD στο σημείο T και την πλευρά AB στο S .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : BT\cdot BS

B) Να υπολογισθεί η : \tan\widehat{BSC} , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Καλημέρα!

α) Έστω AS=x. Λόγω της διχοτόμου AT είναι \displaystyle BT = \frac{{5BS}}{{x + 5}}.
Ώρα εφαπτομένης.78.png
Ώρα εφαπτομένης.78.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Με ν. συνημιτόνων διαδοχικά στα ABC, ABS βρίσκω \displaystyle \cos A = \frac{7}{{25}} και \displaystyle 5B{S^2} = 5{x^2} - 14x + 125.

Άρα, \displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}, όπου με παραγώγους βρίσκω \boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16} για \boxed{x=3}

β) Έχουμε SC=2 και \displaystyle SB = \frac{{8\sqrt {10} }}{5}, όπου με ν. συνημιτόνου στο BSC, είναι \displaystyle \cos \theta  =  - \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  =  - 3}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 09, 2021 1:17 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 12:13 pm


Άρα, \displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}, όπου με παραγώγους βρίσκω \boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16} για \boxed{x=3}
Ωραία λύση Γιώργο!

Μάλιστα, μπορούμε να μείνουμε σε απολύτως στοιχειώδη μέσα λέγοντας

\displaystyle{ \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}=5x-39+\frac{320}{x+5}=5(x+5)+\frac{320}{x+5}-64\geq 2\sqrt{5(x+5)\cdot\frac{320}{x+5}}-64=16}

και η ισότητα ισχύει ανν \displaystyle{5(x+5)=\frac{320}{x+5}\iff x=3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 09, 2021 1:43 pm

Αλλιώς για το β) ερώτημα, αφού πρώτα βρούμε AD=4, AT=AS=3, TD=1. Στο τρίγωνο BSC είναι:
Ώρα εφαπτομένης.78β.png
Ώρα εφαπτομένης.78β.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
\displaystyle \tan \theta  + \tan \varphi  + \tan C = \tan \theta \tan \varphi \tan C \Leftrightarrow \tan \theta  + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{9}\tan \theta  \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  =  - 3}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 09, 2021 1:47 pm

matha έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 1:17 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 12:13 pm


Άρα, \displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}, όπου με παραγώγους βρίσκω \boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16} για \boxed{x=3}
Ωραία λύση Γιώργο!

Μάλιστα, μπορούμε να μείνουμε σε απολύτως στοιχειώδη μέσα λέγοντας

\displaystyle{ \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}=5x-39+\frac{320}{x+5}=5(x+5)+\frac{320}{x+5}-64\geq 2\sqrt{5(x+5)\cdot\frac{320}{x+5}}-64=16}

και η ισότητα ισχύει ανν \displaystyle{5(x+5)=\frac{320}{x+5}\iff x=3.}

Δεν το σκέφτηκα καν, Θάνο :coolspeak: Το μυαλό μου πήγε κατευθείαν στην παράγωγο επειδή ήταν απλή.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 09, 2021 4:38 pm

Ας δώσω και μια αμιγώς γεωμετρική λύση στο 1ο ερώτημα.

09-01-2021 Γεωμετρία α.png
09-01-2021 Γεωμετρία α.png (37.25 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές


Έστω (K,R) ο κύκλος που ορίζουν τα T,S,C. Η BK τον τέμνει στο N και η BC στο M.

Αν το K είναι εκτός της BC, και K’ το ίχνος του στη BC, τότε BK > BK’, άρα το τμήμα BK παίρνει την ελάχιστη τιμή του όταν το K είναι σημείο της BC.

Επίσης, είναι  \displaystyle BM + MK \ge BK \Leftrightarrow BM + R \ge BN + R \Leftrightarrow BM \ge BN με το ίσον όταν ταυτίζονται τα M, N, δηλαδή όταν το K είναι σημείο της BC. Οπότε στην περίπτωση αυτή το BM παίρνει την ελάχιστη τιμή του.


09-01-2021 Γεωμετρία β.png
09-01-2021 Γεωμετρία β.png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Για K σημείο της BC. Η AK είναι στη μεσοκάθετο της TS.

Από Θ. Διχοτόμων,  \displaystyle \frac{{KC}}{{CD}} = \frac{5}{9} \Rightarrow KC = R = \frac{5}{3} , έτσι  \displaystyle BM = 6 - \frac{{10}}{3} = \frac{8}{3} .

Είναι  \displaystyle BT \cdot B{S_{\min }} = BM \cdot BC = 6MB = 16


Altrian
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιαν 09, 2021 5:12 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με βάση : BC=6 και σκέλη : AB=AC=5 . Από το σημείο B

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος AD στο σημείο T και την πλευρά AB στο S .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : BT\cdot BS

B) Να υπολογισθεί η : \tan\widehat{BSC} , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Από το ζητούμενο σημείο S φέρνω κάθετη προς την BS. Προφανώς BT*BS=BD*BM=3*BM Αρα ζητάμε το BM_{min}.
Αρα ζητάμε τον μικρότερο κύκλο (B,S,M) με διάμετρο την BM που προκύπτει όταν ο κύκλος εφάπτεται στην AC στο S.
Εύκολα τώρα προκύπτει ότι το ζητούμενο σημείο S είναι η τομή της AC με την κάθετη από το B προς την διχοτόμο AN της \angle DAC.

\dfrac{DN}{NC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow DN=\dfrac{4}{3},...NC=\dfrac{5}{3}

Με απλές πράξεις από ομοιότητα τριγώνων κλπ προκύπτει ότιDM=\dfrac{7}{3}\Rightarrow BD*BM=3*(3+\dfrac{7}{3})=16.
tan(\theta)=\dfrac{DN}{AD}=\dfrac{4/3}{4}=\dfrac{1}{3}

Για την tan(BSC)=tan(90+\theta)=-\dfrac{1}{tan(\theta)}=-3
Συνημμένα
tan78.png
tan78.png (28.43 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 09, 2021 7:23 pm

Φέρνω στην BS κάθετη στο S και τέμνει τη BC στο E.

Το τετράπλευρο TDES είναι εγγράψιμο και άρα BT \cdot BS = BD\left( {BD + DE} \right) = 3\left( {3 + x} \right). Όπου \boxed{x = DE}.

Αρκεί λοιπόν x + 3 να γίνει ελάχιστο . Γι’ αυτό αρκεί ο κύκλος που διέρχεται από

το σταθερό σημείο B , έχει το κέντρο του K επί της σταθερής πλευράς BC να εφάπτεται της AC στο S.

Τότε προφανώς το \vartriangle KSB θα είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια και το \vartriangle ATS είναι ισοσκελές , οπότε η BS είναι κάθετη στην διχοτόμο της \widehat {DAC}.

Κατασκευή.
Ώρα εφαπτομένης 78.png
Ώρα εφαπτομένης 78.png (21.19 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Φέρνω απ το B κάθετη στην διχοτόμος της \widehat {DAC} που τέμνει την AC στο S.

Επειδή \boxed{\tan (\widehat {BSC}) = \tan \left( {90^\circ  + \theta } \right) =  - \frac{1}{{\tan \theta }}} και \boxed{\frac{{2\tan \theta }}{{1 - 2{{\tan }^2}\theta }} = \tan 2\theta  = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \left( {BSC} \right) =  - 3}


Με πρόλαβε ο φίλτατος Αλέξανδρος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 09, 2021 9:45 pm

Ώρα εφαπτομένης 78.png
Ώρα εφαπτομένης 78.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
Ωραία χρόνια ! Το πρωί που δημιούργησα την άσκηση την είχα τοποθετήσει αρχικά στο φάκελο : "Διαφορικός Λογισμός".

Καμία από τις παραπάνω έξοχες λύσεις , για τις οποίες σας ευχαριστώ , δεν είναι ίδια με την δική μου :!:

Δείτε την και θα καταλάβετε : Αν η κλίση της ευθείας είναι m , ( 0<m<\dfrac{4}{3} ) , η ευθεία μας έχει

εξίσωση : y=m(x+3) και τέμνει το ύψος και την AC σε σημεία με συντεταγμένες , όπως στο σχήμα .

Τότε : BT\cdot BS=\vec{BT}\cdot\vec{BS}=..\dfrac{72(m^2+1)}{3m+4} . Εντάξει , τώρα ... παράγωγος .

Αλλά πάντα προκύπτει το ερώτημα της λύσης χωρίς παράγωγο ( που στους διαγωνισμούς δεν συνηθίζεται ) .

Κάνοντας την διαίρεση , παίρνουμε : \dfrac{72(m^2+1)}{3m+4}=8(3m-4)+\dfrac{200}{3m+4}=8(3m+4-8)+\dfrac{200}{3m+4}

=8(3m+4)+\dfrac{200}{3m+4}-64\geq2\sqrt{1600}-64=16 , με την ισότητα για : m=\dfrac{1}{3} .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 09, 2021 10:35 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 9:45 pm
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΩραία χρόνια ! Το πρωί που δημιούργησα την άσκηση την είχα τοποθετήσει αρχικά στο φάκελο : "Διαφορικός Λογισμός".

Καμία από τις παραπάνω έξοχες λύσεις , για τις οποίες σας ευχαριστώ , δεν είναι ίδια με την δική μου :!:
Θανάση καλησπέρα. Η πρώτη μου αντιμετώπιση ήταν παρόμοια με αυτήν που αναφέρεις, μόνο που αντί για m είχα \varepsilon \phi \phi , (το χούι, βλέπεις), με κατάλληλους περιορισμούς. Σχεδόν το είχα φτάσει στο τέρμα, αλλά μετά είδα την ανάρτηση του Θάνου και έψαξα για κάτι πιο elegant.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιαν 11, 2021 1:31 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με βάση : BC=6 και σκέλη : AB=AC=5 . Από το σημείο B

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος AD στο σημείο T και την πλευρά AB στο S .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : BT\cdot BS

B) Να υπολογισθεί η : \tan\widehat{BSC} , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Μια ακόμη..

Ο κύκλος (A,T,S) τέμνει την AB στο M και BT.BS=5BM άρα ζητούμε το ελάχιστο του BM

2(ABT)+(BTC)=(ABC)=12 \Rightarrow 5y+3x=12 \Rightarrow y= \dfrac{3(4-x)}{5} .

Ακόμη έχουμε AD=4 , tan  \omega = \dfrac{x}{3} ,tanC= \dfrac{4}{3}

Από τους γνωστούς τύπους για tan(C+ \omega ),tan(C- \omega ) εύκολα έχουμε tan \theta = \dfrac{3(4-x)}{4x+9} = \dfrac{y}{BK}

και με αντικατάσταση του y έχουμε  BK= \dfrac{4x+9}{5}

Επίσης tan \varphi = \dfrac{3(x+4)}{9-4x}= \dfrac{y}{KM} και με αντικατάσταση του y

έχουμε  KM= \dfrac{1}{5}  \dfrac{(4-x)(9-4x)}{x+4}

Έτσι,BM=BK+KM= f(x)= \dfrac{8}{5}  \dfrac{x^2+9}{x+4} που παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

για x=1 την f(1)= \dfrac{16}{5} οπότε BS . BT_{min} =16

Για x=1 ,  tan \phi =3 \Rightarrow tan \angle BSC=-3
Ώρα εφαπτομένης 78.png
Ώρα εφαπτομένης 78.png (22.89 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης