mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 25, 2021 9:10 pm**

: Μέγιστη χορδή.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Κύκλος με κέντρο

, το οποίο κινείται στον ημιάξονα

, εφάπτεται του τμήματος

.

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα OP , OQ

. Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

.

Δώστε αριθμητικό παράδειγμα .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 26, 2021 1:13 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 25, 2021 9:10 pm
Μέγιστη χορδή.pngΚύκλος με κέντρο , το οποίο κινείται στον ημιάξονα , εφάπτεται του τμήματος .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Δώστε αριθμητικό παράδειγμα .

: Μέγιστη χορδή_new_1.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Ας είναι $K(k,0)\,\,$ . Η ευθεία

έχει εξίσωση : $AB \to bx + ay - ab = 0$ .

Η ακτίνα του κύκλου είναι $\boxed{R = d(K,AB) = \frac{{|bk - ab|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{b(a - k)}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Η εξίσωση του κύκλου είναι : ${\left( {x - k} \right)^2} + {y^2} = {R^2}$ και η πολική,

της αρχής ως προς αυτόν έχει εξίσωση :

$- k\left( {x - k} \right) = {R^2} \Rightarrow \boxed{{x_D} = OD = k - \frac{{{R^2}}}{k}}$ και άρα $\boxed{OK = \frac{{{R^2}}}{k}}$

Αν θέσω $y = \dfrac{{PQ}}{2}$ θα έχω και λόγω της $\left( 1 \right)$ :

$\boxed{f(k) = {y^2} = OD \cdot DK = \left( {k - \frac{{{b^2}{{\left( {a - k} \right)}^2}}}{{k\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \right)\frac{{{b^2}{{\left( {a - k} \right)}^2}}}{{k\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}}$

και προσδιορίζω, με παραγώγους, το

για να έχω μέγιστο και το μέγιστο μετά.

π.χ. αν $a = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 3$ προκύπτει : $\boxed{k = \sqrt[3]{{\frac{{15\sqrt {129} }}{8} + \frac{{1341}}{{64}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{15\sqrt {129} }}{8} - \frac{{1341}}{{64}}}} - \frac{3}{4}}$

και $P{Q_{\max }} \simeq 1,921943882$ .

mathematica.gr

Μέγιστη χορδή

Μέγιστη χορδή

Re: Μέγιστη χορδή