Ακρότατα σε τετράγωνο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ακρότατα σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 02, 2021 7:59 pm

Ακρότατα σε τετράγωνο.png
Ακρότατα σε τετράγωνο.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Τα σημεία K, L κινούνται στις πλευρές AB, CD αντίστοιχα, τετραγώνου ABCD πλευράς a ώστε DL=2KB.

Αν οι DK, AL τέμνονται στο M και N είναι η προβολή του M στην AB, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τμήματος

AN και την ελάχιστη τιμή της \displaystyle \tan \theta , (\theta  = B\widehat CN).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακρότατα σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 03, 2021 1:23 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Φεβ 02, 2021 7:59 pm
Ακρότατα σε τετράγωνο.png
Τα σημεία K, L κινούνται στις πλευρές AB, CD αντίστοιχα, τετραγώνου ABCD πλευράς a ώστε DL=2KB.

Αν οι DK, AL τέμνονται στο M και N είναι η προβολή του M στην AB, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τμήματος

AN και την ελάχιστη τιμή της \displaystyle \tan \theta , (\theta  = B\widehat CN).
Ακρότατα στο τετράγωνο_new.png
Ακρότατα στο τετράγωνο_new.png (22.36 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

Επιλέγω το σύστημα και τις μεταβλητές που φαίνονται στο σχήμα .

M:\,\,\left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{ax}}{{2k}} \hfill \\ 
  \frac{x}{{a - k}} + \frac{y}{k} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow M:\,\,\left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{2k\left( {a - k} \right)}}{{a + k}} \hfill \\ 
  y = \frac{{a\left( {a - k} \right)}}{{a + k}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

α) Θεωρώ τη συνάρτηση , f(k) = \dfrac{{2k\left( {a - k} \right)}}{{a + k}}\,\,,\,\,0 < k < \dfrac{a}{2} με παράγωγο :

f'\left( k \right) = \dfrac{{2\left( { - {k^2} - 2ak + {a^2}} \right)}}{{{{\left( {a + k} \right)}^2}}} , εύκολα βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο για

k = a\left( {\sqrt 2  - 1} \right) και είναι : \boxed{A{N_{\max }} = a\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)}

β) η \tan \theta  = g(k) = \dfrac{{a - f(k)}}{a} με παράγωγο: g'\left( k \right) = \dfrac{{2\left( {{k^2} + 2ak - {a^2}} \right)}}{{a{{\left( {a + k} \right)}^2}}}

Παρουσιάζει ελάχιστο για k = a\left( {\sqrt 2  - 1} \right) και είναι : \boxed{{{\left( {\tan \theta } \right)}_{\min }} = 4\sqrt 2  - 5}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης